APLIKASI TURUNAN FUNGSI

• PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEBUAH KURVA $y= f(x)$

Turunan pertama dari sebuah fungsi sama dengan nilai kemiringan sebuah garis atau yang disebut dengan gradien dengan simbol $m$. 

         $f'(x)=m$
         dan perlu di ingat persamaan garis lurus yaitu;
         $y-y_1=m(x-x_1)$
       
         Contoh Soal;

         1.  Gradien garis singgung kurva $y=\frac{3}{2}x^2-4x+3$ di titik berabsis $x=2$ adalah ....

          Penyelesaian;

           kita tahu, gradien garis merupakan turunan pertama y sehingga,
           $y'=\frac{3}{2}.2x-4$
           $y'=3x-4$
           karena yang dicari kemiringan garis ketika $x=2$, maka nilai $x$ pada $y'$ kita ganti dengan
           2 sehingga,
           $y'=3(2)-4$
           $y'=6-4$
           $y'=2$
            Jadi gradien garis singgung kurca tersebut di titik $x=2$ adalah 2

          2.  Persamaan garis singgung kurva $y=(x^2+1)^2 di titik berabsis 1 berbentuk ...
       
          Penyelesaian;
   
          Tahap pertama kita cari dulu nilai gradiennya ($m$) , dimana $m=y'$ sehingga,
          $y'=2(x^2+1)(2x)$       ........menggunakan aturan rantai
          $y'=4x(x^2+1)$
          karena persamaan garis tersebut menyinggung kurva di absis 1 berarti nilai $x=1$, sehingga
          $y'=4(1)[(1)^2+1]$
          $y'=4[2]$
          $y'=8$

          untuk membentuk persamaan garis, kita butuhkan titik $(x_1,y_1)$ dimana $x_1=1$ maka   
          $y_1=((1)^2+1)^2$
          $y_1=2^2$
          $y_1=4$

          persamaan garis $y-y_1=m(x-x_1)$ maka $y-4=8(x-1)$
          $y-4=8x-8$
          $y=8x-4$
          Jadi persamaan garis singging kurva tersebut di titik $(1,4)$ yaitu $y=8x-4$

• PERSAMAAN GARIS NORMAL SUATU KURVA         

Persamaan garis normal suatu kurva adalah persamaan garis yang gradiennya tegak lurus terhadap garis singgung kirva sehingga, persamaannya $y-y_1=\frac{-1}{m}(x-x_1)$, dimana, $(x_1, y_1)$ merupakan tidak yang disinggung pada kurva dan m gradien garis singgung.

• MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM         

Turunan pertama dari fungsi $f(x)$  dikatakan maksimum/minimum jika  $f'(x)=0$ sering disebut dengan nilai stationernya. Nilai stationer merupakan puncak pada suatu kurva yang kemiringang garis singgungnya sama dengan nol.

          Contoh Soal;
          1.  Kirva parabola dari limit fungsi kuadrat $f(x)=x^2-8x$ mempunyai nilai minimum sama
               dengan ...

          Penyelesaian;
       
          Jika $f(x)=x^2-8x \to f'(x)=2x-8$,
          karena mengenai maksimum/ minimum maka $f'(x)=0$ sehingga,
          $2x-8=0$
          $2x=8$
          $\frac{2x}{2}=\frac{8}{2}$
          $x=4$
          nilai minimumnya ketika $x=4$ sehingga nilai minimumnya,
          $f(4)=4^2-8(4)$
          $f(4)=16-32$
          $f(4)=-16$
          Jadi nilai minimum kurva $f(x)=x^2-8x$ adalah $-16$.
     
          2.  keliling minimum persegi panjang apabila luas persegi panjang  itu $250 m^2$ adalah ...
       
          Perlu diingat,

Keliling persegi panjang $= 2(p + l)$
Luas persegi panjang $=p\times l$
dimana, p adalah panjang dan l merupakan lebar

          Diketahui :  Luas $=250 m^2 \to p\times l=250 m^2$
          Ditanya    :  Keliling minimum persegi panjang $k=2(p+l)$

          Penyelesaian;

          Usahakan dalam bentuk satu variabel, maka
          $p\times l=250 \to p=\frac{250}{l}$
          Ganti p pada formula keliling dengan $\frac{250}{l}$, maka
          $k=2(\frac{250}{l}+l)$
          $k=2(\frac{250}{l}+2l)$
          $k=\frac{500}{l}+2l$ atau dapat kita tulis menjadi $k=500l^{-1}+2l$
          karena keliling minimum maka $k'=0$
          $k=500l^{-1}+2l  \to    500(-1)l^{-2}+2=0$
                                                $\frac{-500}{l^2}+2=0$   ....(kedua ruas dikalikan dengan $l^2$) maka
                                                $-500+2l^2=0$
                                                $2l^2=500$
                                                $\frac{2l^2}{2}=\frac{500}{2}$
                                                $l^2=250$
                                                $\sqrt{l^2}=\sqrt{250}$
                                                $l=\sqrt{250}$
                                             
          Karena $p=\frac{250}{l} \to p=\frac{250}{\sqrt{250}}$
                                         $p=\sqrt{250}$
          Keliling $(k)=2(\sqrt{250}+\sqrt{250})$
                        $k=2(2\sqrt{250})$
                        $k=4\sqrt{250}$
                        $k=4(5)\sqrt{10}$
                        $k=20\sqrt{10}$
          Jadi Keliling persegi tersbut adalah $20\sqrt{10}$
                                       

• LAJU PERTAMBAHAN NILAI FUNGSI

          Kita tahu bahwa $\frac{dy}{dx}=f'(x)$ merupakan laju perubahan nilai fungsi $y=f(x)$
          terhadap variabel $x$.