PERSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL

 

Konsep Nilai Mutlak Suatu Bilangan

Nilai mutlak bilangan x, dinotasikan dengan , hasil dari mutlak selalu bernilai positif.

Seperti,

  -  bernilai 3 secara simbolis ditulis $|3|=3$

  - $|-3|$ bernilai 3 juga secara simbolis ditulis $|-3|=3$

     Jadi $|3|$ dan $|-3|$ sama-sama bernilai 3

Contoh lain;

  - $|-15|$ bernilai $15$ atau kita tulis $|-15|=15$

  -$|15|$ bernilai 15 atau ditulis $|15|=15$

    Jadi $|-15|$ dan $|15|$ sama-sama bernilai 15

Pembahasan Latihan 1.

  1.  $|2020|=2020$

  2.  $|-2020|=2020$

  3.  $|2020|=2020$ sama nilai dengan $|-2020|=2020$

  4.  $|-17|=17$

  5.  $|-\pi|=\pi$

 Definisi mutlak secara umum;

       $|x|=\begin{cases}x,\text{Jika}x\ge 0\\-x,\text{Jika}x\le 0\end{cases}$

Contoh

1.  |2|= .. .

     Karena 2 besar dari 0 (2>0), maka menurut definisi digunakan $|x|=x$ sehingga $|2|=2$

2.  |-2|= .. .

     Karena $-2$ kecil dari 0 (-2<0), maka menurut digunakan $|x|=-x$, sehingga,

     $|-2|=-(-2)$

     $|-2|=2$

3.  $|3\pi|$=..  

      Karena 3$\pi$ besar dari 0 $(3\pi>0)$, maka menurut definisi digunakan $|x|=x$,

      sehingga,

      $|3\pi|=3\pi$

4.  $\left|-\frac{1}{2}\right|=$

     Karena $-\frac{1}{2}$ kecil dari 0 (-\frac{1}{2}\le 0$  maka digunakan $|x|=-x|,     

     sehingga,

$\left |-\frac{1}{2}\right|=-\$\left(-\frac{1}{2}\right)$  

$\left |-\frac{1}{2}\right|=-\$\frac{1}{2})$  

5.  $|-2|+|5|-|-9|=$ .. .

     $-(-2)+5-9=2+5-9=-2$

6.  $|(|-2|-8)|=$ . . .

     $|2-8|=|-6|$

            $=-(-6)$

            $=6$

Pembahasan Latihan 2

1.  $|-16|=-(-16)=16$

2.  $|1988|=1988$

3.  $\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}$

4.  $\left|-\frac{3}{2}\right|=-\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}$

5.  $|-3+|-6||=|-3+6|=|3|=3$

6.  $|-7|+|-9|-|-3|=-(-7)+(-(-9))-(-(-3))=7+9-3=13$

 

Persamaan Linear Dalam Bentuk Mutlak

   Sebelum memahami definisi, perhatikan contoh berikut.

  1. $|a|=7$ artinya, berapa saja kemungkinan nilai $a$,

       jika dimutlakan hasilnya menjadi 7 , Jadi kemungkinan nilai $a$ yaitu 7 dan $-7$

  2.  $|b|=20$ artinya, berapa saja kemungkinan nilai $b$,

        jika dimutlakkan hasilnya menjadi 20.

        Jadi kemungkinan nilai $b$ yaitu 20 dan -20

   3.  $|c|=-5$ artinya, berapa saja kemungkinan nilai c,

        jika dimutlakkan hasilnya menjadi $-5$.

        Karena hasil dari mutlak selalu positif, maka tidak memiliki solusi untuk  $|c|=-5$

 

Pembahasan Latihan 3

1.  $|a|=5$ berarti $|5|=5$ dan $|-5|=5$ jadi nilai $a=5$ atau $a=-5$

2.  $|d|=2045$ berarti $|2045|=2045$ atau $|-2045|=2045$ jadi nilai $d=2045$ atau $d=-2045$

3.  $|f|=2$, berarti $|2|=2$ atau $|-2|=2$ Jadi nilai $d=2$ atau $d=-2$

4.  $|x|=\pi$ berarti $|\pi|=\pi$ atau $|-\pi|=\pi$ Jadi nilai $x=\pi$ atau $x=-\pi$

5.  $|-x|=-1$ tidak ada hasil mutlak yang bernilai negative, berarti tidak memiliki solusi.

$|ax+b|=c$ ($a$ koefisien dari $x$, $b$ dan $c$ konstanta)$

Contoh 1

Bagaimana dengan bentuk $|a+2|=9$, berapa saja kemungkinan nilai $a$? 

Jawab;

         Mutlak yang menghasilkan 9, $|9|=9$ atau $|-9|=9$

          -  Nilai mutlak yang menghasilkan 9 yaitu $|9|$

              $a+2=9$

              $a+2-2=9-2$

              $a=7$

          -  Nilai mutlak yang menghasilkan 9 yaitu $|-9|$

             $a+2=-9$

             $a+2-2=-9-2$

             $a=-11$

           Jadi nilai $a$  yang mungkin adalah 7 atau $-11$

 

Contoh 2

 

$|a-3|=12$

 

Jawab;

          Mutlak yang menghasilkan 12 adalah $|12|=12$ atau $|-12|=12$

Sehingga dapat kita tulis,

-  Nilai mutlak yang menghasilkan 12 yaitu $|12|$

   $a-3=12$

   $a-3+3=12+3$

   $a=15$

-  Nilai mutlak yang menghasilkan 12 yaitu $|-12|$

   $a-3=-12$

   $a-3+3=-12+3$

   $a=-9$

Jadi nilai $a=-9$ atau $a=15$

Contoh 3

 

$|2b+7|=21$ 

Jawab;

            Mutlak yang menghasilkan 21 yaitu $|21|=21$ atau $|-21|=21$

Sehingga dapat kita tulis,

-  Nilai mutlak yang mengasilkan 21 yaitu $|21|$

   $2b+7=21$

   $2b+7-7=21-7$

   $2b=14$

   $b=7$

         -  Nilai yang menghasilka 21 yaitu $|-21|=21$

             $2b+7=-21$

              $2b+7-7=-21-7$

              $2b=-28$

              $b=-14$

              Jadi kemungkinan $b=7$ atau $b=-14$

Pembahasan Latihan 4

1.  Tentukan nilai $x$ untuk $|x-26|=12$

     Nilai yang menghasilkan 12 yaitu $|12|=12$ atau $|-12|=12$

     -  Nilai yang menghasilkan 12 yaitu $|12|$

        $x-26=12$

        $x-26+26=12+26$

        $x=38$

    -  Nilai yang menghasilkan 12 yaitu $|-12|=12$

       $x-26=-12$

       $x-26+26=-12+26$

       $x=14$

     Jadi kemungkinan $x=38$ atau $x=14$

2.  Tentukan $x$ untuk $|3x+2|=15$

     Nilai yang menghasilkan 15 yaitu $|15|=15\text{atau}|-15|=15$

     -  Nilai yang menghasilkan 15 yaitu $|15|=15$

        $3x+2=15$

        $3x+2-2=15-2$

        $3x=13$

        $x=\frac{13}{3}$

    -  Nilai yang menghasilkan 15 yaitu $|-15|=15$

        $3x+2=-15$

        $3x+2-2=-15-2$

        $3x=-17$

        $x==\frac{-17}{3}$

       Jadi $x$ yang mungkin yaitu $ x=\frac{13}{3}$ atau $x==\frac{-17}{3}$

 

3.  Tentukan nilai $x$ untuk $|2-x|=3$

     Mutlak yang menghasilkan 3 yaitu $|3|=3$ atau $|-3|=3$

     -  Nilai mutlak yang menghasilkan 3 yaitu $|3|=3$,

        $2-x=3$

        $2-2-x=3-2$

        $-x=1$

        $x=-1$

     -  Nilai mutlak yang menghasilkan 3 yaitu $|-3|=3$

        $2-x=-3$

        $2-2-x=-3-2$

        $-x=-5$

        $x=5$

       Jadi nilai $x=-1$ dan $x=5$

4.  Tentukan nilai $x$ untuk $|1-2x|=-5$

     Hasil dari mutlak tidak pernah bernilai negative, berarti $|1-2x|=-5$ tidak memiliki solusi.

 

$|ax+b|=cx+d$  ($a, c$ koefisien dari $x, b ,d$ konstanta)$

 

Contoh 1

$|3x+1|=2x-4$

Jawab:

$|3x+1|=\begin{cases}3x+1,\text{Jika}3x+1\ge 0 \to 3x+1-1\ge 0-1 \text{atau} x\ge \frac{-1}{3}\\-(3x+1),\text{Jika}3x+1< 0\to 3x+1-1< 0-1 \text{atau} x< \frac{-1}{3}\end{cases}$

 

Sehinga bisa kita tulis;

-  Untuk $x\ge{-\frac{1}{3}}$ maka,

   $3x+1=2x-4$

   $3x+1-1-2x=2x-2x-4-1$

   $3x-2x=-4-1$

   $x=-5$

   Karena $-5<\frac{-1}{3}$, sedangkan yang diminta nilai $x\ge{-\frac{1}{3}}$, maka $x=-5$ bukan solusinya.

 

-  Untuk $ x< \frac{-1}{3}$ maka,

   $-(3x+1)=2x-4$

   $-3x-1=2x-4$

   $-3x-1+1-2x=2x-2x-4+1$

   $-3x-2x=-4+1$

   $-5x=-3$

   $x=\frac{3}{5}$

   Karena $\frac{3}{5}>\frac{-1}{3}$, sedangkan yang diminta nilai $x<\frac{-1}{3}$, berarti bukan solusinya.

 

Contoh 2

$|1-2a|-6=4a|$

   Jawab;

 

   $|1-2a|=\begin{cases}1-2a,\text{jika}1-2a\ge 0\text{atau}a\le\frac{1}{2}\\-(1-2a),\text{atau}a>\frac{1}{2}\end{cases}$

 

-  untuk $a\le\frac{1}{2}\text{maka}1-2a-6=4a$

   $1-6-2a=4a$

   $-5-2a=4a$

   $-5+5-2a-4a=4a-4a+5$

   $-2a-4a=5$

   $-6a=5$

   $a=\frac{-5a}{6}$

   $\text{karena}\frac{-5}{6}<\frac{1}{2}$ adalah solusi.

 

-  untuk $a>\frac{1}{2}\text{maka}-(1-2a)-6=4a$

   $-1+2a-6=4a$

   $-1-6+2a=4a$

   $-7+2a=4a$

   $-7+7+2a-4a=4a-4a+7$

   $-2a=7$

   $a=\frac{-7}{2}$

   $\text{karena}\frac{-7}{2}<\frac{1}{2}$ sedangkan yang nilai $a>\frac{1}{2}$ maka $\frac{-1}{2}$

      bukan solusi.

 

     Jadi himpunan penyelesaian dari $|1-2a|-6=4a$ adalah $a=\frac{-5}{6}$

Contoh 3 

$\frac{4}{3}x+2\left|\frac{1}{3}x-1\right|=\frac{5}{6}$ 

Jawab;

$\left|\frac{1}{3}x-1\right|=\begin{cases}\frac{1}{3}x-1,\text{jika}\frac{1}{3}x-1\ge 0\text{atau}x\ge3\\-\left( \frac{1}{3}x-1\right),\text{jika}\frac{1}{3}x-1< 0\text{atau}x<3\end{cases}$

 

-  untuk $x\ge 3$ maka

   $\frac{4}{3}x+2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=\frac{5}{6}$

   $\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}x-2=\frac{5}{6}$

   $x-2+2=\frac{5}{6}+2$

   $x=\frac{5+6\times 2}{6}$

   $x=\frac{17}{6}$

   Karena $\frac{17}{6}<3$ maka {\frac{17}{3}$ bukan solusi.

 

-  Untuk $x<3$ maka

    $\frac{4}{3}x+2\left(\frac{1}{3}-1\right)=\frac{5}{6}$

    $\frac{4}{3}x+2\left(-\left(\frac{1}{3}-1\right)\right)=\frac{5}{6}$

     $\frac{4}{3}x+2\left(-\frac{1}{3}+1\right)=\frac{5}{6}$

     $\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}x+2=\frac{5}{6}$

     $\frac{2}{3}x+2-2=\frac{5}{6}-2$

     $\frac{2}{3}x=\frac{5-2\times 6}{6}$

     $\frac{2}{3}x=\frac{-7}{6}$

     $\frac{2}{3}\frac{3}{2}x=\frac{-7}{6}\frac{3}{2}$

     $x=\frac{-21}{12}=\frac{-7}{4}$

   Karena $\frac{-7}{4}<3$ maka $\frac{-7}{4}$ merupakan solusi.

Jadi solusi dari $\frac{4}{3}x+2\left|\frac{1}{3}x-1\right|=\frac{5}{6}$ adalah $x=\frac{-7}{4}$

Pembahasan Latihan 5

1.  $|2x+3|=4x+2$

     Pembahasan;

     $|2x+3|=\begin{cases}2x-3,jika 2x+3\ge 0 atau x\ge\frac{-3}{2}\\-(2x-3),jika 2x-3<0 atau x<\frac{-3}{2}\end{cases}$

 

    -  Untuk $x\ge\frac{-3}{2}$, maka

       $2x+3=4x+2$

       $2x+3-3-4x=4x-4x+2-3$

       $-x=-1$

       $x=1$

        Karena $1>\frac{-3}{2}$ maka $\frac{-3}{2}$ merupakan solusinya.

 

    -  Untuk $x<\frac{-3}{2}$, maka

        $-(2x+3)=4x+2$

        $-2x-4=4x+2$

        $-2x-4+4-4x=4x-4x+2-4$

        $-6x=-2$

        $x=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$

        Karena $\frac{1}{3}>\frac{-3}{2}$ berarti $\frac{1}{3}$ bukan solusi

 

        Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah $\frac{-3}{2}$

1

 2.  $|2-5a|+7a=8$

      Pembahasan;

      $|2-5a|=\begin{cases}2-5a,jika 2-5a\ge 0 atau a\le\frac{2}{5}\\-(2-5a),jika  2-5a<0 atau a>\frac{2}{5}\end{cases}$

 

-  Untuk $a\le\frac{2}{5}$, maka

   $2-5a+7a=8$

   $2-2+2a=8-2$

   $2a=6$

   $a=3$

    Karena $3>\frac{2}{5}$, maka $a=3$ bukan solusinya.

-  Untuk $a>\frac{2}{5}$, maka

   $-(2-5a)+7a=8$

   $-2+5a+7a=8$

   $-2+2+12a=8+2$

   $12a=10$

   $a=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$

   Karena $\frac{5}{6}>\frac{2}{5}$, maka $a=\frac{5}{6}$ merukan solusinya.

   Jadi Himpunan penyelesaian dari $|2-5a|+7a=8$ adalah $a=\frac{5}{6}$.

3.  $\frac{1}{2}+3\left|\frac{1}{2}x-1\right|=\frac{1}{2}x$

     $\left|\frac{1}{2}x-1\right|=\begin{cases}\frac{1}{2}x-1,\text{jika}\frac{1}{2}-1\ge 0\text{atau}x\ge\frac{1}{2}\\1-\frac{1}{2},\text{jika}a<\frac{1}{2}\end{cases}$

 

-  Untuk $x\ge\frac{1}{2}$, maka

    $\frac{1}{2}+3\left(frac{1}{2}x-1\right)=\frac{1}{2}x$

    $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}x-3=\frac{1}{2}x$

    $\frac{-5}{2}+\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}x$

    $\frac{-5}{2}+\frac{5}{2}+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-frac{1}{2}+\frac{5}{2}$

    $x=\frac{5}{2}$

    Karena $\frac{5}{2}>\frac{1}{2}$, maka $\frac{5}{2}$ adalah solusinya.

 

-  Untuk $x<\frac{1}{2}$, maka

   $\frac{1}{2}+3\left(1-\frac{1}{2}x\right)=\frac{1}{2}x$

   $\frac{1}{2}+3-\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}x$

   $\frac{7}{2}-\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}x$

   $\frac{7}{2}-\frac{7}{2}-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{7}{2}$

   $-2x=\frac{-7}{2}x$

   $x=\frac{7}{4}$

   Karena $\frac{7}{4}>\frac{1}{2}$, berarti $x=\frac{7}{4}$ bukan solusinya.

 

Jadi himpunan penyelesaiannya yaitu $x=\frac{5}{2}$.