PEMBAHASAN SOAL APLIKASI TURUNAN NO 5 #TAHAP 2 T.SIPIL

 SOAL NO 5.

$y=\frac{a^{2}x}{a^2+x^2}$

misalkan: 

               $u(x)=a^{2}x\to u'(x)=a^2$

               $v(x)=a^2+x^2\to v'(x)=2x$

$y=\frac{u(x)}{v(x)}\to y'=\frac{u'(x).v(x)-v'(x).u(x)}{v^{2}(x)}$

$f'(x)=y'=\frac{a^2(a^2+x^2)-2x(a^{2}x)}{(a^2+x^2)^2}$

$y'=\frac{a^4+a^{2}x^{2}-2a^{2}x^{2}}{(a^2+x^2)^2}$

$y'=\frac{a^4-a^{2}x^{2}}{(a^2+x^2)^2}$

Nilai mak/min $f'(x)=0$

$\frac{a^4-a^{2}x^{2}}{(a^2+x^2)^2}=0$

$a^4-a^{2}x^{2}=0$

$a^{2}x^{2}=a^4$

$x^2-a^2=0$

$(x-a)(x+a)=0$

$x-a=0\text{ atau } x+a=0$

$x=a\text{ atau }x=-a$

untuk $x=a\to f(a)=\frac{a^{2}a}{a^2+a^2}=\frac{a^3}{2a^2}=\frac{a}{2}$

untuk $x=-a\to f(-a)=\frac{a^{2}(-a)}{a^2+(-a)^2}=\frac{-a^3}{2a^2}=-\frac{a}{2}$

Jika a$\ge$0 maka nilai maksimum $\frac{a}{2}$ dan minimum $-\frac{a}{2}$

Jika a<0 maka nilai maksimum $-\frac{a}{2}$ dan minimum $\frac{a}{2}$

TITIK BELOK

$y'=\frac{a^4-a^{2}x^{2}}{(a^2+x^2)^2}$

$y''=\frac{-2a^{2}x(a^2+x^2)^2-[4x(a^{2}+x^{2})][a^2(a^2-x^2)]}{(a^2+x^2)^4}$

$y''=\frac{-2a^{2}x(a^2+x^2)^2-[4a^{2}x(a^{2}+x^{2})][(a^2-x^2)]}{(a^2+x^2)^4}$

titik belok ketika $y''=0$

$\frac{-2a^{2}x(a^2+x^2)^2-[4a^{2}x(a^{2}+x^{2})][(a^2-x^2)]}{(a^2+x^2)^4}=0$

$-2a^{2}x(a^2+x^2)^2-[4a^{2}x(a^{2}+x^{2})][(a^2-x^2)]=0$

$-2a^{2}x(a^2+x^2)^2-[4a^{2}x(a^4-x^4)]=0$

$-2a^{2}x(a^2+x^2)^2=4a^{2}x(a^4-x^4)$  (dibagi $2a^{2}x$)

$-(a^2+x^2)^2=2(a^4-x^4)$

$-a^4-2a^{2}x^{2}-x^4=2a^4-2x^4$

$x^4-2a^{2}x^{2}-3a^4=0$

$(x^2+a^2)(a^2-3a)=0$

$x^2+a^2=0\text{ atau }x^2-3a=0$

$x^2=-a^2\text{ atau }x^2=3a$

$x=\pm\sqrt{-a^2}\text{ (bernilai imajiner) atau }x=\pm\sqrt{3a}$

untuk $x=a\sqrt{3}\to y=\frac{a^{2}a\sqrt{3}}{a^2+3a^2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4a^a}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

untuk $x=-a\sqrt{3}\to y=\frac{-a^{2}a\sqrt{3}}{a^2+3a^2}=\frac{-a^3\sqrt{3}}{4a^a}=-\frac{a\sqrt{3}}{4}$

jadi titik beloknya $(a\sqrt{3}; \frac{a\sqrt{3}}{4}) dan (-a\sqrt{3}; -\frac{a\sqrt{3}}{4})$

By. Veggi. Y