INVERS MATRIKS ORDO 2 X 2

Jika suatu matriks dikalikan dengan inversnya maka hasil perkalian berbentuk matriks identitas. Invers dari matriks A dilambangkan dengan $a^{-1}$

$A.A^{-1}=I$

 Misalkan: $A=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)$

                   $A^{-1}=\left(\begin{matrix}k&l\\m&n\end{matrix}\right)$

                   $I=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)$

Maka;

$A.A^{-1}=I$

$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k&l\\m&n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}ak+bm&al+bn\\ck+dm&cl+dn\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)$

Untuk bagian pertama;

$ak+bm=1$           $|\times d|$        $adk+bdm=d$

$ck+dm=0$           $|\times b|$        $bck+bdm=0$

                                                        _____________  -

                                                         $adk-bck=d$

                                                         $k(ad-bc)=d$

                                                                     $k=\frac{d}{ad-bc}$

Untuk bagian kedua;

$ak+bm=1$           $|\times c|$        $ack+bcm=c$

$ck+dm=0$           $|\times a|$        $ack+adm=0$

                                                        _____________  -

                                                         $bcm-adm=c$

                                                          $m(bc-ad)=c$

                                                                     $m=\frac{c}{bc-ad}$

                                                                     $m=\frac{-c}{ad-bc}$

Untuk bagian ketiga;

$al+bn=0$           $|\times d|$        $adl+bdn=0$

$cl+dn=1$           $|\times b|$        $bcl+bdn=b$

                                                        _____________  -

                                                        $adl-bcl=-b$

                                                        $l(ad-bc)=-b$

                                                                    $l=\frac{-b}{ad-bc}$

Untuk bagian keempat;

$al+bn=0$           $|\times c|$        $acl+bcn=0$

$cl+dn=1$           $|\times a|$        $acl+adn=a$

                                                        _____________  -

                                                       $bcn-adn=-a$

                                                       $n(bc-ad)=-a$

                                                                   $n=\frac{-a}{bc-ad}$

                                                                   $n=\frac{-a}{-(ad-bc)}$

                                                                   $n=\frac{a}{ad-bc}$

 

sehingga;

$A^{-1}=\left(\begin{matrix}k&l\\m&n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)= \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix}\right)$

         Jika $A=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\to A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix}\right)$

 

Ada konsep pada perkalian yang berhubungan dengan materi invers ini yaitu;

1.  Jika $AX=B\to X=A^{-1}B$

2.  Jika $XA=B\to X=BA^{-1}$

 

Contoh 1:

Diketahui matriks $B=\left(\begin{matrix}-2&1\\-4&6\end{matrix}\right)$,

tentukan invers dari matriks B.

Pembahasan:

$|B|=-2\times 6-1\times (-4)=-12+4=-8$

$B=\frac{1}{-8}\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}-\frac{6}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{4}{8}&\frac{2}{8}\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$

Jadi invers dari matriks B adalah $\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$