Skip to main content

INVERS MATRIKS ORDO 2 X 2

Image
By


Jika suatu matriks dikalikan dengan inversnya maka hasil perkalian berbentuk matriks identitas. Invers dari matriks A dilambangkan dengan $a^{-1}$

$A.A^{-1}=I$

 Misalkan: $A=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)$

                   $A^{-1}=\left(\begin{matrix}k&l\\m&n\end{matrix}\right)$

                   $I=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)$

Maka;

$A.A^{-1}=I$

$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k&l\\m&n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}ak+bm&al+bn\\ck+dm&cl+dn\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)$

Untuk bagian pertama;

$ak+bm=1$           $|\times d|$        $adk+bdm=d$

$ck+dm=0$           $|\times b|$        $bck+bdm=0$

                                                        _____________  -

                                                         $adk-bck=d$

                                                         $k(ad-bc)=d$

                                                                     $k=\frac{d}{ad-bc}$


Untuk bagian kedua;

$ak+bm=1$           $|\times c|$        $ack+bcm=c$

$ck+dm=0$           $|\times a|$        $ack+adm=0$

                                                        _____________  -

                                                         $bcm-adm=c$

                                                          $m(bc-ad)=c$

                                                                     $m=\frac{c}{bc-ad}$

                                                                     $m=\frac{-c}{ad-bc}$


Untuk bagian ketiga;

$al+bn=0$           $|\times d|$        $adl+bdn=0$

$cl+dn=1$           $|\times b|$        $bcl+bdn=b$

                                                        _____________  -

                                                        $adl-bcl=-b$

                                                        $l(ad-bc)=-b$

                                                                    $l=\frac{-b}{ad-bc}$


Untuk bagian keempat;

$al+bn=0$           $|\times c|$        $acl+bcn=0$

$cl+dn=1$           $|\times a|$        $acl+adn=a$

                                                        _____________  -

                                                       $bcn-adn=-a$

                                                       $n(bc-ad)=-a$

                                                                   $n=\frac{-a}{bc-ad}$

                                                                   $n=\frac{-a}{-(ad-bc)}$

                                                                   $n=\frac{a}{ad-bc}$

 

sehingga;

$A^{-1}=\left(\begin{matrix}k&l\\m&n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)= \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix}\right)$

         Jika $A=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\to A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix}\right)$

 

Ada konsep pada perkalian yang berhubungan dengan materi invers ini yaitu;

1.  Jika $AX=B\to X=A^{-1}B$

2.  Jika $XA=B\to X=BA^{-1}$

 

Contoh 1:

Diketahui matriks $B=\left(\begin{matrix}-2&1\\-4&6\end{matrix}\right)$,

tentukan invers dari matriks B.

Pembahasan:

$|B|=-2\times 6-1\times (-4)=-12+4=-8$

$B=\frac{1}{-8}\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}-\frac{6}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{4}{8}&\frac{2}{8}\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$

Jadi invers dari matriks B adalah $\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$


Labels:

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Pecatur A, B, C dan D bertanding dalam suatu turnamen catur, Urutan pemain yang memperoleh nilai tertinggi sampai ke terendah adalah ...

By
  Pecatur A, B, C dan D bertanding dalam suatu turnamen catur. Setiap pemain saling bertemu satu kali. pada setiap pertandingan, pemain yang menang, seri dan kalah, berturut-turut mendapatkan nilai 2, 1, dan 0. Data hasil pertandingan adalah A menang 2 kali, B seri dua kali, C kalah dua kali, dan D tidak pernah seri. Pembahasan; dari tabel setiap pecatur bertanding sebanyak tiga kali; seperti A dengan B, A dengan C dan A dengan D.  *B dua kali seri pastinya B  seri ketika melawan A dan melawan C (karena D tidak pernah seri),  * A menang 2 kali pastinya A menang melawan C dan melawan D ( karena A melawan B seri) *  kalah 2 kali pastinya C kalah melawan A dan melawan D (karena C seri melawan B) B dan D belum ditentukan menang atau kalah nya.   Pertandingan     Menang     seri     kalah                 A dan B         -   B/A     -      A dan C        A    -   C      A dan D       A    -     D      B dan C        -   B/C     -      B dan D      B/D    -   B/D    ?      C dan D        D
Post a Comment
Read more

SOAL AKM TRANSFORMASI MATRIKS

By
 1.   Tata mendapatkan tugas dari Yuliana untuk menentukan besaran translasi yang dilakukannya jika posisi awalnya dititik $(4,2)$ dan posisi akhirnya$(-1,-2)$  berapakah besaran translasinya? Jawab; Pososi Akhir = posisi awal + besaran translasi $\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$ $4+a=-1$ maka $a=-1-4=-5$ $2+b=-2$ maka $b=-2-2=-4$ jadi besaran translasinya $(-5,-4)$ 2.   Persamaan parabola $y=2x^2+6$ ditranslasikan oleh matriks $\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ akan mempunyai bayangan parabola dengan titik puncak …. Jawab; $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ $x+1=x'$ maka $x=x'-1$ .....(1) $y+3=y'$ maka $y=y'-3$ ....(2) substitusi (1) dan (2) ke $y=2^2+6$ menjadi $y'-3=2(x'-1)^2+6$ $y'-3=2(x'^2-2x'+1)+6$ $y'-3=2x'^2-4x'
1 comment
Read more

SOAL AKM MATRIKS

By
  7.   Jawab; a. BENAR B. Salah (seharusnya sama dengan g bukan h) C. Salah (seharusnya kotak silang bukan kotak dua) D. Salah E.  Salah 8.   Jawab; $A_{2\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan)  $B_{2\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom B sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $A_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom A tidak sama dengan banyak baris C (tida dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom C sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $B_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom B tidak sama dengan banyak baris C ( tidak dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan) jadi banyak perkalian yang dapat dilakukan adalah 6 9.   Matriks $L=\left(\begin{matrix}a&b&c\\1&2&3\\d&e&f\end{matrix}\right)$, jika $L^T$ merupakan transpose dari matriks L, ma
Post a Comment
Read more