Misalkan sebuah fungsi $y=f(x)$ ditranslasi oleh matriks $T=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$. Pada fungsi awal kita punya variabel $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$ dan setelah ditranslasi maka terbentuk sebuah bayangan $\left(\begin{matrix}x’\\y’’\end{matrix}\right)$ sehingga;
$\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$
Atau kita tulis;
$x’=x+a\to x=x’-a$
$y’=y+b\to y=y’-b$
Contoh 1:
Persamaan garis $x+2y=3$ ditranslasi oleh matriks $T=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$
mempunyai
persamaan bayangan berbentuk …
Pembahasan:
$\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$
Sehingga;
$x+5=x’$
$x+5-5=x’-5$
$x=x’-5$ ……………..(1)
$y+3=y’$
$y+3-3=y’-3$
$y=y'-3$ ……………(2)
Substitusi (1) dan (2)
ke persamaan kurva/garis.
$x+2y-3=0\to (x’-5)+2(y’-3)-3=0$
$x’-5+2y’-6-3=0$
$x’+2y’-14=0$
Jadi bayangan garis
$x+2y=3$ ditranslasi oleh matriks $\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$
adalah $x+2y-14=0$.
Contoh
2:
Persamaan bayangan dari
parabola $(x-2)^2=4(y-3)$ karena translasi oleh matriks $T=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$
akan berbentuk …
Pembahasan:
$\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$
$x+1=x’\to x=x’-1$ …………….(1)
$y+3=y’\to y=y’3$ ………………(2)
Substitusi (1) dan (2)
ke persamaan parabola, sehingga
$(x-2)^2=4(y-3)$
$(x’-1-2)^2=4(y’-3-3)$
$(x’-3)^2=4(y’-6)$
$x’^2-6x’+9=4y’-24$
$x’^2-6x’+9-4y’+24=0$
$x’^2-6x’-4y’+33=0$
Jadi persamaan bayangan
parabola $(x-2)^2=4(y-3)$ adalah $x^2-6x-4y+33=0$.
Contoh
3:
Persamaan parabola $y=x^2+1$
ditranslasikan oleh matriks$\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$ akan mempunyai bayangan parabola dengan titik
puncak ….
Pembahasan:
$\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$
$\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$
$x-3=x’\to x=x’+3$ ……………..(1)
$y+2=y’\to y=y’-2$ ……………..(2)
Substitusi (1) dan (2)
ke persamaan parabola
$y=x^2+1\to (y’-2)=(x’+3)^2+1$
$y’-2=x’^2+6x’+9+1$
$y-2=x’^2+6x’+10$
$y’= x’^2+6x’+10+2$
$y’= x’^2+6x’+12$
Maka persamaan bayangannya
$y=x^2+6x+12$
Jika $y=ax^2+bx+c$ maka
titik puncak parabola pada sumbu $x$ yaitu $\frac{-b}{2a}$
$x=-\frac{6}{2(1)}=-3$
Titik puncak pada sumbu
y dengan cara substitusi ke persamaan bayangan,
$y=(-3)^2+6(-3)+12$
$y=9-18+12$
$y=3$
Maka titik puncak
bayangannya $(-3,3)$
Contoh 4:
Lingkaran dengan persamaan$L\equiv
x^2+y^2-6x+4y+7=0$ ditranslasi oleh matriks $\left(\begin{matrix}m\\m\end{matrix}\right)$
mempunyai bayangan lingkaran yang berpusat di $(-2,3)$
Nilai $(m+n)$ adalah …
Pembahasan:
$\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)\to\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)$
$x+m=x’\to x=x’-m$ ……………(1)
$y+n=y’\to y=y’-n$ ……………..(2)
Substitusi (1) dan (2)
ke persamaan lingkaran
$L\equiv
x^2+y^2-6x+4y+7=0\to L’\equiv(x’-m)^2+(y’-n)^2-6(x’-m)+4(y’-n)+7=0$
$L’\equiv x’^2-2mx’+m^2+y’^2-2ny’+4y’+m^2+n^2-4n+7=0$
$L’\equiv x’^2+y’^2+(-2m-6)x’+(-2n+4)y’+(m^2+n^2-4n+7)=0$
Ingat persamaan
lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$, maka pusat$\left(-\frac{A}{2};-\frac{B}{2}\right)$,
Pusat pada sumbu
$x=-\frac{A}{2}$
$-2=-\frac{-2m-6}{2}$
$-2(2)=2m+6$
$-4=2m+6$
$-4-6=2m$
$2m=-10$
$m=-5$
Pusat pada sumbu
$y=-\frac{B}{2}$
$3=-\frac{-2n+4}{2}$
$3(2)=2n-4$
$6=2n-4$
$10=2n$
$n=5$
Jadi nilai $m+n=-5+5=0$
Contoh
4:
Jika lingkaran yang
berpusat di $(3,-2)$ ditranslasi oleh matriks $\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$,
maka petanya merupakan lingkaran $x^2+y^2+6x-2y+9=0$ Nilai $(a\times b)$ sama
dengan …
Pembahasan:
Petanya sudah kita
ketahui $x^2+y^2+6x-2y+9=0$
$\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$
$x’=x+a$ …………………(1)
$y’=y+b$...................(2)
Berarti $x^2+y^2+6x-2y+9=0$
disimbolkan dengan secara asli $x’^2+y’^2+6x’-2y’+9=0$ maka substitusikan (1)
dan (2) ke persamaan.
$(x+a)^2+(y+b)^2+6(x+a)-2(y+b)+9=0$
$x^2+2ax+a^2+y^2+2by+6x+b^2+6a-2y-2b+9=0$
$x^2+y^2+2ax+6x+2by-2y+a^2+b^2-2b+9=0$
$x^2+y^2+(2a+6)x+(2b-2)y+(a^2+b^2+6a-2b+9)=0$
Ingat persamaan
lingkaran;
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
Pusat untuk sumbu $x=-\frac{A}{2}$
$3=-\frac{2a+6}{2}$
$3(2)=-2a-6$
$6=-2a-6$
$6+6=-2a$
$a=-6$
Pusat untuk sumbu
$y=-\frac{B}{2}$
$-2=-\frac{2b-2}{2}$
(dikali dengan $-1$ agar tanda negatif berubah menjadi positif)
$2=\frac{2b-2}{2}$
$4=2b-2$
$2b=6$
$b=3$
Jadi nilai $(a\times b)=-6\times 3=-18$
Contoh
5:
Persamaan parabola
bertitik puncak di $(a,b)$ jika ditranslasi oleh matriks $\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$
mempunyai peta dengan persamaan $4x-y^2+6y-17=0$. Nilai $(a-b)$ sama dengan …
Pembahasan:
Persamaan bayangan: $4x’-y’^2+6y’-17=0$
setelah ditranslasi $T\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$ sehingga;
$\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$
Berarti;
$x’=x+2$ ………..(1)
$y’=y+1$ ………..(2)
Substitusi (1) dan (2)
ke persamaan bayangan;
$4(x+2)-(y+1)^2+6(y+1)-17=0$
$4x+8-(y^2+2y+1)+6y+6-17=0$
$4x+6y-y^2-2y-1+8+6-17=0$
$4x-y^2+4y-4=0$
$4x=y^2-4y+4$
$x=\frac{1}{4}y^2-y+1$
Titik puncak untuk sumbu
y yaitu $-\frac{b}{2a}$
$y=-\frac{-1}{2\left(\frac{1}{4}\right)}=2$
Substitusi $y=-2$ ke
persamaan parabola
$x=-\frac{1}{4}(2)^2-(2)+1$
$x=-1-2+1$
$x=-2$
Jadi titik puncak
persamaan parabola sebelum ditranslasi adalah $(2,-2)$ dimana $a=-2$ dan $b=2$,
maka $(a-b)=-2-2=-4$
Contoh
6:
Persamaan garis $l$
ditranslasi oleh matriks $T=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$
mempunyai bayangan garis $2x-3y+1=0$. Persamaan garis $l$ adalah …
Pembahasan:
Persamaan bayangan: $2x’-3y’+1=0$
$\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$
Berart $x’=x+2$ dan $y’=y+1$
sehingga;
$2(x+2)-3(y+1)+1=0$
$2x+4-3y-3+1=0$
$2x-3y+4-3+1=0$
$2x-3y+2=0$
Jadi persamaan garis
$l\equiv 2x-3y+2=0$
Contoh
7:
Jika persamaan
$P_1\equiv y=2-x^2$ dan ditranslasi sebesar $\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$
sehingga bayangannya berada pada $P_2$ maka persamaan bayangannya $(P_2)$
adalah …
Pembahasan:
$\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$
$\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$
Berarti;
$x+6=x’\to x=x’-6$ …………………..(1)
$y+3=y’\to y=y’-3$ …………………..(2)
Substitusi (1) dan (2)
ke persamaan $P_1$ sehingga;
$(y’-3)=2-(x’-6)^2$
$y’-3=2-(x’^2-12x’+36)$
$y’=-x’^2+12x’-34+3$
$y’=-x’^2+12x’-31$
Jadi persamaan
bayanganya adalah $y=-x^2+12x-31$
Contoh
8:
Titik $A(3,1)$ jika
ditranslasi oleh matriks $T=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$
mengahasilkan bayangan $A’(7,2)$. Jika elips $x^2+2y^2=6$ ditransalasi oleh T akan menghasilkan bayangan berbentuk….
Pembahasan:
$A=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$
ditranslasi $T=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$ menjadi $A’=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$
Sehingga;
$3+a=7\to a=7-3=4$
$1+b=2\to b=2-1=1$
Berarti besaran
translasinya $T=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$
$\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)\to\left(\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$
Sehingga;
$x+4=x’\to x=x’-4$ …………………..(1)
$y+1=y’\to y=y’-1$ …………………..(2)
Substitusi (1) dan (2) ke
persamaan elips
$(x’-4)^2+2(y’-1)^2=6$
$x’^2-8x’+16+2(y’^2-2y’+1)=6$
$x’^2-8x’+16+2y’^2-4y’+2=6$
$x’^2+2y’^2-8x’-4y’+16+2=6$
$x’^2+2y’^2-8x’-4y’+18-6=0$
$x’^2+2y’^2-8x’-4y’+12=0$
Jadi persamaan
bayangannya adalah $x^2+2y^2-8x-4y+12=0$
Comments
Post a Comment