Barisan dan Deret Aritmatika

 Barisan aritmatika atau barisan hitung adalah barisan yang suku-sukunya memiliki beda yang sama dengan cara menambahkan dengan suatu konstanta yang disebut dengan beda (b).  seperti 

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ......

-  beda (b) : selisih suatu suku dengan suku sebelumnya 

   $b=U_2-U_1=U_3-U_2=U_4-U_3=U_n-U_{n-1}$

   $(b)=5-2=3$

-  Suku pertama = $U_1 = \text{awal} =2=a$

-  Suku ke-2 = $U_2=5=2+3=a+b$

-  Suku ke-3 = $U_3=8=2+3+3=a+2b$

-  Suku ke-4=$U_4=11=2+3+3+3=a+3b$

-  Suku ke-5=$U_5=14=2+3+3+3+3=a+4b$

    :

    :

-  Suku ke-n = $U_n=a+(n-1)b$

   Jadi Rumus untuk menentukan suku ke-n pada barisan aritmatika yaitu;

   $U_n=a+(n-1)b$ 

  cara lain menemukan beda pada barisan aritmatika yaitu;

   $b=\frac{U_m-U_n}{m-n}$

Contoh 1

Tentukan beda dan suku keseratus dari barisan aritmatika; 2, 5, 8, 11, ...

Jawab

$U_1=a=2$

$U_2=5$

$U_3=8$

Beda : $b=U_2-U_1=5-2=3$, Jadi bedanya 3

Suku keseratus berarti $n=100$, sehingga;

$U_n=a+(n-1)b$

$U_{100}=2+(100-1)3$

$U_{100}=2+(99)3$

$U_{100}=2+297$

$U_{100}=299$

Jadi beda pada berisan aritmatika di atas adalah 3 dan suku keseratusnya bernilai 299.

Latihan 1

1.  Tentukan beda dan suku ke 80 dari  barisan aritmatika; 2, 6, 10,14, ...

2.  Tentukan suku ke 2023 dari barisan aritmatika; 5, 7, 9, 11, ....

Contoh 2

Tentukan 3 suku pertama barisan aritmatika dimana suku kedua dan suku kesembilan berturut-turut bernilai 5 dan 26.

Jawab;

suku kedua sama dengan lima maka $U_2=5$ artinya $a+b=5$ ......(1)

suku kesembilan sama dengan dua puuh sembilan maka $U_9=26$ artinya $a+8b=26$ ......(2)

Eliminasi $a$ dari persamaan (1) dan (2)

$a+b=5$

$\underline{a+8b=26}$  $-$

     $-7b=-21$

          $b=\frac{-21}{-7}=3$  ......(3)

Substitusi $b=3$ pada (1)

$a+b=5$

$a+3=5$

$a=5-3$

$a=2$

tiga suku pertama yaitu $U_1,U_2,U_3$

$U_1=a=2$

$U_2=a+b=2+3=5$

$U_3=a+2b=2+2(3)=8$

jadi tiga suku pertama adalah $2, 5, 8$

Latihan 2

1.  Tentukan 3 suku pertama barisan aritmatika yang mempunyai suku kedua 7 dan suku kesepuluh 47.

2.  Tentukan 4 suku pertama barisan aritmatika yang mempunya suku kedelapan -15, suku kelimapuluh -99. 

Contoh  3

Diberikan barisan aritmatika dengan suku ketiga sama dengan 13 dan suku ketujuh sama dengan 33. tentukan suku ke-11.

Jawab;

Suku ketiga sama dengan 13 maka $U_3=13$

                                                      $a+(3-1)b=13$ atau $a+2b=13$ ............(1)

Suku ketujuh sama dengan 23 maka $U_7=33$

                                                       $a+(7-1)=33$ atau $a+6b=33$ ........(2)

Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2) 

$a+2b=13$

$\underline{a+6b=33}$  $-$

    $-4b=-20$

      $b=\frac{-20}{-4}=5$

Subtitusi b=5 ke persamaan (1)

$a+2b=13$ menjadi $a+2(5)=13$

                                $a+10=13$

                                $a=3$

Suku kesebelas: $U_{11}=a+10b=3+(10)5=3+50=53$

jadi suku kesebelas bernilai 53.

Latihan 3

1.  Diberikan barisan aritmatika dengan suku keenam bernilai -17 dan suku ketigabelas bernilai - 38. tentukan nilai suku kesembilan belas.

2.  Diberikan barisan aritmatika dengan suku keempat bernilai 1 dan suku kesembilan bernilai - 14. tentukan tiga suku pertama barisan aritmatika tersebut.

Bersambung Part 2