Barisan Geometri

 A.  Barisan Geometri

       Barisan geometri merupakan barisan yang suku berikutnya merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan suatu ketetapan bilangan yang disebut rasio (r).

$U_1=a$                                     (suku pertama r berpangkat 0)

$U_2=ar$                                    (suku kedua r berpangkat 1)

$U_3=ar.r=ar^2$                         (suku ketiga r berpangkat 2)

$U_4=ar^2.r=ar^3$                     (suku keempat r berpangkat 3)

$U_5=ar^3.r=ar^4$                     (suku kelima r berpangkat 4)

jika dilihat dari pola tersebut, maka 

suku ke-n $U_n=ar^{n-1}$, dimana $r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{U_3}{U_2}=\frac{U_n}{U_{n-1}}$

Contoh 10

Tentukan rasio dan suku kesembilan dari barisan geometri $2,4,8,16,...$.

Jawab

$2,4,8,16,...$. berarti $U_1=2, U_2=4, U_3=8, U_4=16$

rasio ; $r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{4}{2}=2$

suku kesembilan; $U_9=ar^{n-1}$

                                       $=2\left(2^{9-1}\right)$

                                       $=2\left(2^8\right)$

                                       $=2(256)$

                                       $=512$

Latihan 10

1.  Tentukan rasio dan suku sepuluh dari barisan geometri $512, 256, 128, 64, ....$
2.  Tentukan rasio dan suku kedelapan dari barisan geometri $3, 6, 12, 24,...$

Contoh 11

Diketahui barisan geometri $729, 243, 81,...$ , suku keberapakah yang nilainya $\frac{1}{243}$.

Jawab;

$U_1=729, U_2=243, U_3=81$

$r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{243}{729}=\frac{1}{3}$

$U_n=ar^{n-1}$

$(729)\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{243}$

$(\frac{1}{3})^{n-1}=\frac{1}{243\times 729}$

$(\frac{1}{3})^{n-1}=\frac{1}{3^5\times 3^6}$

$(\frac{1}{3})^{n-1}=\frac{1}{3^{11}}$

$(\frac{1}{3})^{n-1}=(\frac{1}{3})^{11}$

sehingga,

$n-1=11$

$n=11+1$

$n=12$

jadi suku ke-12 bernilai 

Latihan 11

1.  Diketahui barisan geometri $512, 256, 128, ...$ suku keberapah yang nilai sukunya $\frac{1}{16}$

2.  Diketahui barisan geometri $\frac{243}{16}, \frac{81}{8},\frac{27}{4},...$, suku keberapakah yang nilai sukunya $\frac{32}{81}$.

SUKU TENGAH

Suku tengah ($U_t$) dapat ditentukan jika banyak suku barisan geometrinya berjumlah ganjil dengan rumus;

$U_t =\sqrt{a.U_n}$  dimana $t=\frac{n+1}{2}$

Contoh 12

Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut 21 dan hasil kali ketiga bilangan tersebut 216.  Tentukan ketiga bilangan ini.

Jawab

misalkan barisan geometri tersebut adalah; $\frac{a}{r},a, ar$

hasil kali ketiga bilangan $\left(\frac{a}{r}\right)(a)(ar)=216$

                                     $a^3=216$

                                     $a^3=6^3$

                                     $a=6$

barisan geometri; $\frac{6}{r}, 6,6r$

Hasil jumlah ketiga bilangan tersebut 21, $\frac{6}{r}+6+6r=21$

$\frac{6}{r}+6r=21-6$

$\frac{6}{r}+6r=15$  dikali dengan r

$\left(\frac{6}{r}\right)(r)+(6r)(r)=15(r)$

$6+6r^2=15r$

$6r^2-15r+6=0$

$(3r-6)(2r-1)=0$

$3r-6=0$ atau $2r-1=0$

$3r=6$ atau $2r=1$

$r=\frac{6}{3}$ atau $r=\frac{1}{2}$

$r=2$  atau $r=\frac{1}{2}$

Penentuan barisan geometri;

*  untuk $a=6$ dan $r=2$ maka $\frac{6}{r}, 6,6r$ atau $\frac{6}{2}, 2, (6)(2)$ atau $3, 6, 12$ (barisan naik)

* untuk $a=6$ dan $r=\frac{1}{2}$ maka $\frac{6}{r}, 6,6r$ atau $\frac{6}{\frac{1}{2}}, 6, 6(\frac{1}{2})$ atau $12, 6, 3$ (barisan turun)

Latihan 12

1.  Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut 26 dan hasil kali ketiga bilangan tersebut 216. Tentukan ketiga bilangan ini.

2.  Diketahui balok ABCD EFGH, panjang rusuknya membentuk barisan geometri, Jumlah seluruh rusuknya 52 dan volume balok tersebut 27.  tentukan panjang masing-masing rusuk tersebut.

SISIPAN PADA BARISAN GEOMETRI

Jika diantara dua suku barisan geometri disisipkan k suku baru, maka terbentuk barisan geometri baru, maka:

-  Rasio Baru ($r'$);

      $r'=\sqrt[k+1]{r}=\sqrt[k+1]{\frac{U_n}{U_{n-1}}}$

-  Banyak suku sesudah disisipkan ($n'$) rumusnya;

     $n'=n+(n-1)k$

-  Suku ke-n sesudah penyisipan ($U'_n$) rumusnya;

     $U'_n=a(r')^{n'-1}$

Contoh 13

Barisan geometri $2, 32, 256,..$, diantara dua sukunya disisipkan tiga suku sehingga membentuk barisan geometri baru. tentukanlah;

a.  rasio barisan geometri baru,

b.  suku ke-$7$ barisan geometri baru.

Jawab;

a.  Rasio barisan geometri ($r'$) , dimana disisipkan tiga suku ($k=3$)

     $r'=\sqrt[k+1]{\frac{U_n}{U_{n-1}}}$

     $r'=\sqrt[3+1]{\frac{32}{2}}$

     $r'=\sqrt[4]{16}$

     $r'=\sqrt[4]{2^4}$

     $r'=2$

b.  suku ke-$7$ barisan geometri baru.

     $U_7=ar^6$

     $U_7=2(2)^6$

     $U_7=2(64)$

     $U_7=128$

Latihan 13

1.  Diberikan barisan geometri $3, 48, 384, ...$, diantara dua sukunya disisipkan tiga suku  sehingga membentuk barisan geometri baru.tentukanlah;

     a.  rasio barisan geometri baru,
     b.  suku ke-$8$ barisan geometri baru.

2.  Diberikan barisan geometri $\frac{81}{16},\frac{2}{3},\frac{64}{729}, ...$, diantara dua sukunya disisipkan empat suku  sehingga membentuk barisan geometri baru.tentukanlah;
     a.  rasio barisan geometri baru,
     b.  suku ke-$4$ barisan geometri baru.