JUMLAH n SUKU PERTAMA DERET GEOMETRI

 DERET GEOMETRI BERHINGGA

Jumlah n suku pertama ($S_n$) pada deret geometri ditentukan menggunakan rumus;

*  Jika $r>1$, maka $S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$

*  Jika $r<1$, maka $S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

dan $S_n-S_{n-1}=U_n$

Contoh 14

Hitunglah jumlah dari 9 suku pertama dari deret geometri $2+3+\frac{9}{2}+ \frac{27}{4}+....$

Jawab

$2+3+\frac{9}{2}+ \frac{27}{4}+....$

$a=2$ dan $r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{3}{2}$

karena $r=\frac{3}{2}>1$, maka $S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$

$S_9=\frac{2\left[(\frac{3}{2})^9-1\right]}{\frac{3}{2}-1}$

     $=\frac{2\left[\frac{19683}{512}-1\right]}{\frac{3}{2}-1(\frac{2}{2})}$

     $=\frac{2\left[\frac{19683}{512}-1\frac{512}{512}\right]}{\frac{3-2}{2}}$

     $=\frac{2\left[\frac{19683-512}{512}\right]}{\frac{1}{2}}$

     $=\frac{2\left[\frac{19171}{512}\right]}{\frac{1}{2}}$

     $=\frac{2\times 19171}{512}\times\frac{2}{1}$

    $=\frac{19171}{128}$

Latihan 14

1.  Hitunglah jumlah 8 suku pertama dari deret geometri $\frac{3}{2}+1+\frac{2}{3}+...$

Contoh 15

Diberikan barisan geometri $\frac{3}{32}, \frac{3}{2}, 24, ...$, diantara dua sukunya disisipkan 3 bilangan, sehingga membentuk barisan geometri baru. tentukanlah jumlah 3 suku pertama deret geometri baru tersebut.

Jawab

disisipkan 3 bilangan berarti $k=3$

rasio baru $r=\sqrt[k+1]{\frac{U_n}{U_{n-1}}}$

                $r=\sqrt[3+1]{\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{32}}}$

               $r=\sqrt[4]{\frac{3}{2}\times \frac{32}{3}}$

               $r=\sqrt[4]{\frac{96}{6}}$

               $r=\sqrt[4]{16}$

               $r=\sqrt[4]{2^4}$

               $r=2$

barisan geometri baru dengan $a=\frac{3}{32}$ dan $r=2>1$, maka jumlah 3 suku pertama ($S_3$) yaitu

$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$

$S_3=\frac{\frac{3}{32}\left(2^3-1\right)}{2-1}$

      $=\frac{\frac{3}{32}(8-1)}{1}$

      $=\frac{3}{32}(7)$

      $=\frac{21}{32}\equiv 0,656 $

Latihan 15

1.  Diberikan barisan geometri $24, \frac{3}{2}, \frac{3}{32}, ...$ pada setiap dua sukunya di sisipkan 3 bilangan, sehingga membentuk barisan geometri baru. hitunglah jumlah 4 suku pertama deret geometri baru tersebut.

2.  Diantara 5 dan 160 disisipkan empat bilangan sehingga membentuk deret geometri, tentukan jumlah 3 suku pertama dari deret geometri tersebut.

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Jumlah tak hingga dari deret geometri ($S_\infty$) dengan rumus;

*  Jika $-1<r<1$ atau $|r|<1$ dan $a\neq 0$ maka $S_\infty =\frac{a}{1-r}$ 

*  Jika $r\leq -1$ atau $r\geq 1$ atau $|r|\geq 1$ maka $S_\infty = \infty$

Contoh 15

Hitunglah jumlah deret geometri tahingga  $100+25+\frac{25}{4}+...$

Jawab

$a=100$ dan $r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$

$S_\infty =\frac{100}{1-\frac{1}{4}}$

          $=\frac{100}{1\left(\frac{4}{4}\right)-\frac{1}{4}}$

          $=\frac{100}{\frac{4-1}{4}}$

          $=\frac{100}{\frac{3}{4}}$

          $=100\times \frac{4}{3}$

          $=\frac{400}{3}\equiv 133,33$

Latihan 15

1.  Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga $90+30+10+....$

2.  Diberikan deret geometri tak hingga $ .....+20+10+5+.....$ dan jumlahnya $160$. tentukan suku pertama deret geometri tak hingga tersebut.

SUKU GANJIL DAN SUKU GENAP PADA DERET TAKHINGGA

Jumlah takhingga suku ganjil $S_{\infty ganjil}= U_1+U_3+U_5+...=a+ar^2+ar^4+...$, maka rasionya $=\frac{ar^2}{a}=r^2$  dan suku pertamanya $a$ sehingga $S_{\infty ganjil}=\frac{a}{1-r^2}$ .

jumlah takhingga suku genap $S_{\infty genap}=U_2+U_4+U_6+...=ar+ar^3+ar^5+...$, maka rasionya $=\frac{ar^3}{ar}=r^2$  dan suku pertamanya $ar$ maka $S_{\infty genap}=\frac{ar}{1-r^2}$

Contoh 16

Sebuah bola dijatuhkan kelantai dari ketinggian 8 meter, bola tersebut akan memantul dengan ketinggian $\frac{5}{6}$ dari ketinggian semula, berapa panjang lintasan bola yang dibentuk sampai bola tersebut berhenti.

Jawab

Cara 1

soal di atas dapat gambar menjadi berikut.

Jumlah deret geometri bola turun $a+ar +ar^2+...$, jadi awalnya $ a$ dan rasionya $=\frac{ar}{a}=r$ sehingga panjang lintasan bola saat turun yaitu; 

$S_{\infty \text{turun}}=\frac{a}{1-r}=\frac{8}{1-\frac{5}{6}}=\frac{8}{\frac{6-5}{6}}=\frac{8}{\frac{1}{6}}=8\times 6=48$

Jumlah deret geometri bola naik $ar+ar^2+ar^3+...$, jadi awalnya $ar$ dan rasionaya $=\frac{ar^2}{ar}=r$

$S_{\infty\text{naik}}=\frac{ar}{1-r}\frac{8\times \frac{5}{6}}{1-\frac{5}{6}}=\frac{\frac{40}{6}}{\frac{6-5}{6}}=\frac{\frac{40}{6}}{\frac{1}{6}}=40$

panjang lintasan bola $=S_{\infty \text{turun}}+S_{\infty \text{naik}}=48+40=88$

cara 2

Gunakankan rumus $S_{\infty\text{total}}=\frac{a(1+r)}{1-r}$

$=\frac{8\left(1+\frac{5}{6}\right)}{1-\frac{5}{6}}$

$=\frac{8\left(\frac{6+5}{6}\right)}{\frac{6-1}{6}}$

$=\frac{8\left(\frac{11}{6}\right)}{\frac{1}{6}}$

$=\frac{\frac{88}{6}}{\frac{1}{6}}=88$

Latihan 16

1.  sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter, dan bola tersebut memantul pada dasar lantai dengan tinggi pantulan $\frac{4}{5}$ dari tinggi semula. tentukan panjang lintasan bola sampai bola tersebut berhenti.