A. Menentukan $(f\circ g)(x)$ Jika diketahui $f(x)$ dan $g(x)$
Fungsi komposisi adalah Penggabungan dua fungsi atau lebih menjadi sebuah fungsi baru.
Jika kita memiliki dua buah fungsi yaitu $f(x)$ dan $g(x)$ maka ada dua kemungkinan komposisi yang akan terbentuk yaitu;
1. $(f \circ g)(x)=f(g(x))$ artinya setiap variabel x yang ada pada fungsi $f(x)$ di ubah dengan fungsi $g(x)$
2. $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ artinya setiap variabel x yang ada pada fungsi $g(x)$ di ubah dengan fungsi $f(x)$
Contoh 1
Diketahui fungsi $f(x)=3x-5$ dan $g(x)=2x+7$, tentukan $(f \circ g)(x)$ dan $(g\circ f)(x)$.
Jawab
* $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
$f(g(x))=f(2x+7)$
$f(2x+7)=3(2x+7)-5$
$=3(2x)+3(7)-5$
$=6x+21-5$
$=6x+16$
$f(2x+7)=3(2x+7)-5$
$=3(2x)+3(7)-5$
$=6x+21-5$
$=6x+16$
Jadi $(f\circ g)(x)=6x+16$
* $(g\circ f)(x)=g(f(x))$
$g(f(x))=g(3x-5)$
$g(3x-5)=2(3x-5)+7$
$=2(3x)-2(5)+7$
$=6x-10+7$
$=6x-3$
$g(3x-5)=2(3x-5)+7$
$=2(3x)-2(5)+7$
$=6x-10+7$
$=6x-3$
Jadi $(g\circ f)(x)=6x-3$
Latihan 1
Diketahui $f(x)=x^2+4x+4$ dan $g(x)=3x-2$, tentukan $(f\circ g)(2)$ dan $(g \circ f)(-3)$
Jawab
Cara 1
* $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
1. Diketahui fungsi $f(x)=5x-8$ dan $g(x)=3x+2$, tentukan $(f\circ g)(x)$ dan $(g\circ f)(x)$
2. Diketahui fungsi $u(x)=3-2x$ dan $v(x)=4x+3$, tentukan $(u\circ v)(x)$ dan $(v\circ u)(x)$.
Contoh 22. Diketahui fungsi $u(x)=3-2x$ dan $v(x)=4x+3$, tentukan $(u\circ v)(x)$ dan $(v\circ u)(x)$.
Diketahui $f(x)=x^2+4x+4$ dan $g(x)=3x-2$, tentukan $(f\circ g)(2)$ dan $(g \circ f)(-3)$
Jawab
Cara 1
* $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
$f(g(x))=f(3x-2)$
$f(3x-2)=(3x-2)^2+4(3x-2)+4$
$=(3x)^2+2(3x)(-2)+(-2)^2+4(3x)+4(-2)+4$
$=9x^2-12x+4+12x-8+4$
$=9x^2-12x+12x+4-8+4$
$=9x^2$
$(f \circ g)(2)=9(2)^2$
$(f \circ g)(2)=9(4)=36$
jadi $(f \circ g)(2)=36$
* $(g\circ f)(x)=g(f(x))$
$=(3x)^2+2(3x)(-2)+(-2)^2+4(3x)+4(-2)+4$
$=9x^2-12x+4+12x-8+4$
$=9x^2-12x+12x+4-8+4$
$=9x^2$
$(f \circ g)(2)=9(2)^2$
$(f \circ g)(2)=9(4)=36$
jadi $(f \circ g)(2)=36$
* $(g\circ f)(x)=g(f(x))$
$g(f(x))=g(x^2+4x+4)$
$g(x^2+4x+4)=3(x^2+4x+4)-2$
$=3(x^2)+3(4x)+3(4)-2$
$=3x^2+12x+12-2$
$=3x^2+12x+10$
$(g\circ f)(-3)=3(-3)^2+12(-3)+10$
$=3(9)-36+10$
$=27-36+10=1$
Jadi $(g\circ f)(-3)=1$
Cara 2
* $(f\circ g)(2)=f(g(2))$. dimana $g(2)=3(2)-2=6-2=4$
$f(g(2))=f(4)=(4)^2+4(4)+4$
$f(g(2))=16+16+4=36$
* $(g\circ f)(-3)=g(f(-3))$ dimana $f(-3)=(-3)^2+4(-3)+4=9-12+4=1$
$g(f(-3))=3(1)-2=3-2=1$
$=3(x^2)+3(4x)+3(4)-2$
$=3x^2+12x+12-2$
$=3x^2+12x+10$
$(g\circ f)(-3)=3(-3)^2+12(-3)+10$
$=3(9)-36+10$
$=27-36+10=1$
Jadi $(g\circ f)(-3)=1$
Cara 2
* $(f\circ g)(2)=f(g(2))$. dimana $g(2)=3(2)-2=6-2=4$
$f(g(2))=f(4)=(4)^2+4(4)+4$
$f(g(2))=16+16+4=36$
* $(g\circ f)(-3)=g(f(-3))$ dimana $f(-3)=(-3)^2+4(-3)+4=9-12+4=1$
$g(f(-3))=3(1)-2=3-2=1$
Latihan 2
Contoh 7
Diketahui fungsi $(f\circ g)(x)=2x^2+6x+15$ dan $g(x)=x^2+3x+5$, tentukan $f(x)$.
Jawab
1. Diketahui fungsi $f(x)=x^2-4x+12$ dan $g(x)=2x+5$, tentukan $(f\circ g)(1)$
2. Diketahui fungsi $u(x)=2x^2+5x-4$ dan $v(x)=3x-4$, tentukan $(v\circ u)(2)$
2. Diketahui fungsi $u(x)=2x^2+5x-4$ dan $v(x)=3x-4$, tentukan $(v\circ u)(2)$
B. Menentukan $f(x)$ Jika diketahui $g(x)$ dan $(f\circ g)(x)$
1. Menentukan $f(x)$ jika diketahui $(f\circ g)(x)$ dan $g(x)=ax+b$
Contoh 3
Jika $f(x)=3x+4$ dan $g(x)=2x+5$, Tentukan $(f\circ g)(x)$ ....
Jawab
$(f\circ g)(x)=f(g(x))$
$f(g(x))=3(2x+5)+4$
$f(g(x))=3(2x)+3(5)+4$
$f(g(x))=6x+15+4$
$f(g(x))=6x+19$
$(f\circ g)(x)=f(g(x))$
$f(g(x))=3(2x+5)+4$
$f(g(x))=3(2x)+3(5)+4$
$f(g(x))=6x+15+4$
$f(g(x))=6x+19$
Contoh 4
Diketahui $(f\circ g)(x)=6x+19$ dan $g(x)=2x+5$, maka berapakah $f(x)$?
Jawab
Jawab
$(f\circ g)(x)=6x+19$
$f(g(x))=6x+19$
$f(2x+5)=6x+19$
Cara 1
Misalkan $2x+5=p$
$2x=p-5$
$x=\frac{p-5}{2}$
$f(2x+5)=6x+19$ berubah menjadi $f(p)=6\left(\frac{p-5}{2}\right)+19$
$f(p)=\frac{(6)(p-5)}{2}+19$
$f(p)=3(p-5)+19$
$f(p)=3(p)+3(-5)+19$
$f(p)=3p-15+19$
$f(p)=3p+4$
Jika variabel p diganti menjadi $x$ maka $f(p)=3p+4$ berubah menjadi $f(x)=3x+4$
$2x=p-5$
$x=\frac{p-5}{2}$
$f(2x+5)=6x+19$ berubah menjadi $f(p)=6\left(\frac{p-5}{2}\right)+19$
$f(p)=\frac{(6)(p-5)}{2}+19$
$f(p)=3(p-5)+19$
$f(p)=3(p)+3(-5)+19$
$f(p)=3p-15+19$
$f(p)=3p+4$
Jika variabel p diganti menjadi $x$ maka $f(p)=3p+4$ berubah menjadi $f(x)=3x+4$
Cara 2
Ingat invers $ax+b$ adalah $\frac{x-b}{a}$
$2x+5$ maka inversnya $\frac{x-5}{2}$
$f(2x+5)=6x+19$ maka $f(x)=6\left(\frac{x-5}{2}\right)+19$
$f(x)=\frac{(6)(x-5)}{2}+19$
$f(x)=(3)(x-5)+19$
$f(x)=(3)(x)+3(-5)+19$
$f(x)=3x-15+19$
$f(x)=3x+4$
$2x+5$ maka inversnya $\frac{x-5}{2}$
$f(2x+5)=6x+19$ maka $f(x)=6\left(\frac{x-5}{2}\right)+19$
$f(x)=\frac{(6)(x-5)}{2}+19$
$f(x)=(3)(x-5)+19$
$f(x)=(3)(x)+3(-5)+19$
$f(x)=3x-15+19$
$f(x)=3x+4$
Cara 3
Jika $f(2x+5)=6x+19$ maka $f(2x+5)= 3(2x+5)+ 4$
$f(x)=3x+4$
$f(x)=3x+4$
Latihan 3
Contoh 5
1. Jika $(f\circ g)(x)=6x+5$ dan $g(x)=2x+1$, maka $f(x)$ adalah ....
2. Jika $(f\circ g)(x)=12x-13$ dan $g(x)=3x-2$, maka $f(x)$ adalah ....
2. Menentukan $f(x)$ jika diketahui $(f\circ g)(x)$ dan $g(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ 2. Jika $(f\circ g)(x)=12x-13$ dan $g(x)=3x-2$, maka $f(x)$ adalah ....
Contoh 5
Jika $f(x)=\frac{3x}{2x-1}$ dan $g(x)=\frac{2x}{3x+1}$ maka $(f o g)(x)=$ ...
Jawab
$(fog)(x)=f(g(x))=f\left(\frac{2x}{3x+1})\right)$
$(fog)(x)=f(g(x))=f\left(\frac{2x}{3x+1})\right)$
$f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)=\frac{3\left(\frac{2x}{3x+1}\right)}{2\left(\frac{2x}{3x+1}\right)-1}$
$=\frac{\frac{6x}{3x+1}}{\frac{4x}{3x+1}-1}$$=\frac{\frac{6x}{3x+1}}{\frac{4x}{3x+1}-1\left(\frac{3x+1}{3x+1}\right)}$
$=\frac{\frac{6x}{3x+1}}{\frac{4x-3x-1}{3x+1}}$$=\frac{\frac{6x}{3x+1}}{\frac{x-1}{3x+1}}$
$=\frac{6x}{x-1}$jadi $(f\circ g)(x)=\frac{6x}{x-1}$
Contoh 6
Diketahui $(f\circ g)(x)=\frac{6x}{x-1}$ dan $g(x)=\frac{2x}{3x+1}$, tentukan $f(x)$....
Jawab
$(f\circ g)(x)=\frac{6x}{x-1}$
$f(g(x))=\frac{6x}{x-1}$
$f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)=\frac{6x}{x-1}$ Cara 1
Misalkan $\frac{2x}{3x+1}=p$
$2x=p(3x+1)$
$2x=3px+p$
Kumpulkan yang memiliki variabel x ke ruas kiri sama dengan,
$2x-3px=p$
$x(2-3p)=p$
$x=\frac{p}{2-3p}$
Ganti setiap $x$ yang ada pada $f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)$ dengan $x=\frac{p}{2-3p}$
Misalkan $\frac{2x}{3x+1}=p$
$2x=p(3x+1)$
$2x=3px+p$
Kumpulkan yang memiliki variabel x ke ruas kiri sama dengan,
$2x-3px=p$
$x(2-3p)=p$
$x=\frac{p}{2-3p}$
Ganti setiap $x$ yang ada pada $f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)$ dengan $x=\frac{p}{2-3p}$
$f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)=\frac{6x}{x-1}$
$f(p)=\frac{6\left(\frac{p}{2-3p}\right)}{\frac{p}{2-3p}-1}$
$=\frac{\frac{6p}{2-3p}}{\frac{p}{2-3p}-1\left(\frac{2-3p}{2-3p}\right)}$
$=\frac{\frac{6p}{2-3p}}{\frac{p-2+3p}{2-3p}}$
$=\frac{\frac{6p}{2-3p}}{\frac{4p-2}{2-3p}}$
$=\frac{6p}{4p-2}$
$=\frac{2(3p)}{2(2p-1)}$
$=\frac{3p}{2p-1}$
jika $f(p)=\frac{3p}{2p-1}$ maka $f(x)=\frac{3x}{2x-1}$
Jadi $f(x)=\frac{3x}{2x-1}$
Cara 2
Jika $\frac{ax+b}{cx+d}$ maka ubah menjadi $\frac{dx-b}{-cx+a}$
Jika $\frac{ax+b}{cx+d}$ maka ubah menjadi $\frac{dx-b}{-cx+a}$
$\frac{2x+0}{3x+1}$ berubah menjadi $\frac{x-0}{-3x+2}$,
$f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)=\frac{6x}{x-1}$$f(x)=\frac{6\left(\frac{x}{-3x+2}\right)}{\frac{x}{-3x+2}-1}$
$=\frac{\frac{6x}{-3x+2}}{\frac{x}{-3x+2}-1\left(\frac{-3x+2}{-3x+2}\right)}$
$=\frac{\frac{6x}{-3x+2}}{\frac{x+3x-2}{-3x+2}}$
$=\frac{\frac{6x}{-3x+2}}{\frac{4x-2}{-3x+2}}$
$=\frac{6x}{4x-2}$
$=\frac{2(3x)}{2(2x-1)}$
$=\frac{3x}{2x-1}$
Latihan 4
1. Diketahui $(f\circ g)(x)=\frac{4x+11}{17x+11}$ dan $g(x)=\frac{3x+5}{17+11}$, tentukan fungsi $f(x)$.
2. Diketahui $(g\circ f)(x)=\frac{-9x-2}{11x+27}$ dan $f(x)=\frac{1-2x}{3x+5}$, tentukan fungsi $g(x)$.
Contoh 7
Diketahui fungsi $(f\circ g)(x)=2x^2+6x+15$ dan $g(x)=x^2+3x+5$, tentukan $f(x)$.
Jawab
$(f\circ g)(x)=2x^2+6x+15$
$f(g(x))=2x^2+6x+15$
$f(x^2+3x+5)=2x^2+6x+15$
Cara 1
Ingat invers dari $y=ax^2+bx+c$ adalah $y^{-1}=\frac{-b\pm\sqrt{4ax+b^2-4ac}}{2a}$
invers dari $y=x^2+3x+5$ adalah
$y^{-1}=\frac{-3\pm\sqrt{4(1)x+3^2-4(1)(5)}}{2(1)}$
$y^{-1}=\frac{-3\pm\sqrt{4x-11}}{2}$
$f(x^2+3x+5)=2x^2+6x+15$
$f(x)=2\left(\frac{-3+\sqrt{4x-11}}{2}\right)^2+6\left(\frac{-3+\sqrt{4x-11}}{2}\right)+15$
$f(x)=2\left(\frac{(-3+\sqrt{4x-11})^2}{2^2}\right)+6\left(\frac{-3+\sqrt{4x-11}}{2}\right)+15$
$f(x)=2\left(\frac{(9-6\sqrt{4x-11}+(4x-11)}{4}\right)+6\left(\frac{-3+\sqrt{4x-11}}{2}\right)+15$
$f(x)=\left(\frac{-6\sqrt{4x-11}+4x-2}{2}\right)+6\left(\frac{-3+\sqrt{4x-11}}{2}\right)+\frac{30}{2}$
$f(x)=\left(\frac{-6\sqrt{4x-11}+4x-2}{2}\right)+\left(\frac{-18+6\sqrt{4x-11}}{2}\right)+\frac{30}{2}$
$f(x)=\frac{-6\sqrt{4x-11}+4x-2-18+6\sqrt{4x-11}+30}{2}$
$f(x)=\frac{4x+10}{2}$
$f(x)=2x+5$
Jadi $f(x)=2x+5$
Cara 2
$f(x^2+3x+5)=2x^2+6x+15$
$f(x^2+3x+5)=2(x^2+3x+5)+5$
$f(x^2+3x+5)=2x^2+6x+15$
$f(x^2+3x+5)=2(x^2+3x+5)+5$
$f(x)=2x+5$
Latihan 5
1. Jika $(f\circ g)(x)=6x^2+18x-25$ dan $g(x)=2x^2+6x-5$,maka $f(x)$ adalah ....
2. Jika $(f\circ g)(x)=6x^2-10$ dan $g(x)=2x^2-5$,maka nilai $f(-1)$ adalah ....
C. Menentukan $g(x)$ Jika diketahui $f(x)$ dan $(f\circ g)(x)$
1. Menentukan $g(x)$ Jika diketahui $(f\circ g)(x)$ dan $f(x)=ax+b$
Contoh 8
Jika $f(x)=2x-1$ dan $(f o g)(x)=2x+3$, maka $g(x) =$ ...
Jawab
$(f o g)(x)=2x+3$
$f(g(x))=2x+3$ (artinya setiap x yang ada pada fungsi $f(x)$ diganti dengan $g(x)$
$2g(x)-1=2x+3$
$2g(x)=2x+3+1$
$2g(x)=2x+4$
$g(x)=\frac{2x}{2}+\frac{4}{2}$
$g(x)=x+2$
Latihan 6
1. Jika $f(x)=4x+1$ dan $(f o g)(x)=12x-19$, maka $g(x)$
2. Jika $g(x)=5x-4$ dan $(g o f)(x)=10x-19$, maka $f(x)$.
2. Menentukan $g(x)$ Jika diketahui $(f\circ g)(x)$ dan $f(x)=ax^2+bx+c$
Contoh 9
Diketahui $f(x)=x^2+5$ dan $(f o g)(x)=x^2-2x+6$, Rumus $g(x)=$...
Jawab
$(f o g)(x)=x^2-2x+6$
$f(g(x))=x^2-2x+6$ (artinya setiap yang ada pada fungsi $f(x)$ diganti dengan $g(x)$).
$[g(x)]^2+5=x^2-2x+6$
$[g(x)]^2=x^2-2x+6-5$
$[g(x)]^2=x^2-2x+1$
$[g(x)]^2=(x-1)(x-1)$
$[g(x)]^2=(x-1)^2$
$g(x)=x-1$
Latihan 7
1. Diketahui $f(x)=x^2-5$ dan $(f o g)(x)=x^2+4x-1$, maka $g(x)=$ ....
2. Diketahui $f(x)=x^2+6$ dan $(f o g)(x)=x^2-6x+15$ maka $g(x)=$ ....
Contoh 10
Jika $f(x)=x^2-4$ dan $(f o g)(x)=x^4-4x^2$ maka $g(x)=$ ...
Jawab
$(f o g)(x)=x^4-4x^2$
$f(g(x))=x^4-4x^2$ (artinya setiap x yang ada pada $f(x)$ diganti dengan $g(x)$)
$[g(x)]^2-4=x^4-4x^2$
$[g(x)]^2=x^4-4x^2+4$
$[g(x)]^2=(x^2-2)(x^2-2)$
$[g(x)]^2=(x^2-2)^2$
$g(x)=x^2-2$
Latihan 8
1. Diketahui $f(x)=x^2-10$ dan $(f o g)(x)=x^4+10x^2+15$, maka $g(x)=$...
2. Diketahui $f(x)=x^2+2$ dan $(f o g)(x)=x^4+2x^2+3$, maka $g(x)=$...
D. Invers dari Fungsi Komposisi
Sifat fungsi invers pada fungsi komposisi
1. $(f\circ f^{-1})(x)=I(x)=x$
2. $(f^{-1}\circ f)(x)=I(x)=x$
3. $(f\circ g)^{-1}(x)=(g^{-1}\circ f^{-1})(x)$
4. $(f\circ g)(x)=h(x) \to f(x)=h(g^{-1}(x))$
5. $(f\circ g)(x)=h(x)\to g(x)=f^{-1}(h(x))$
6. $f(\bigcirc)=\square\to \bigcirc=f^{-1}(\square)$
Contoh 11
Jika $f(x)=\frac{x}{x+1}, g(x)=\frac{x-1}{x}$ dengan $x\ne-1, x\ne0$maka $(f\circ g)^{-1}(x)$ adalah ....
(A) $\frac{1-x}{1-2x}, x\ne \frac{1}{2}$
(B) $\frac{-1}{x}, x\ne 0$
(C) $\frac{1-2x}{1-x},x\ne 1$
(D) $\frac{1}{x}, x\ne 0$
(E) $\frac{1+x}{1+2x},x\ne-\frac{1}{2}$
SIMAK UI MD 2010 No. 1
Jawab
$(f\circ g)(x)=f(g(x))$
$f(g(x))=\frac{\frac{x-1}{x}}{\left(\frac{x-1}{x}\right)+1}$
$=\frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x-1+x}{x}}$
$=\frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{2x-1}{x}}$
$=\frac{x-1}{2x-1}$
ingat, Jika $y=\frac{ax+b}{cx+d}\text{ maka } y^{-1}=\frac{-dx+b}{cx-a}$
$(f\circ g)(x)=\frac{x-1}{2x-1}, x\ne \frac{1}{2}$
Contoh 12
Diketahui $(f^{-1}\circ g^{-1}\circ h^{-1})(x)=3x+1$ dan $(h\cir g)(x)=\frac{2x+1}{x-1}, x \ne 1$, nilai dari $f(-3)$ adalah ....
(A) $-\frac{9}{11}$
(B) $-\frac{5}{10}$
(C) $\frac{-1}{11}$
(D) $\frac{1}{10}$
(E) $\frac{5}{10}$
SIMAK UI MD 2013 No. 14
Jawab
E. Masalah Kontekstual Fungsi Komposisi dan Invers
1. Masalah 1
a. Biaya Produksi ($P(x)$)
Biaya untuk memproduksi $x$ loyang kue adalah ($P(x)$) dalam ribuan rupiah dengan fungsi: $P(x)=5x+10$.
b. Biaya Pemasaran ($M(x)$)
Biaya pemasaran dan pengemasan bergantung pada total biaya produksi adalah ($M(x)) dengan fungsi $M(x)=0,2x+5$
c. Total biaya (produksi dan pemasaran) $C(x)$
Fungsi total biaya merupakan kmposisi dari fungsi biaya pemasaran dan fungsi biaya produksi, yaitu $C(x)=M(P(x))$
$C(x)=0,2(5x+10)+5$
$C(x)=x+2+5$
$C(x)=x+7$
d. Keuntungan Rp5.000,00 perloyang berarti total keuntungan $5x$
e. Harga jual akhir ($H(x)$) = total biaya + keuntungan total
$H(x)=C(x)+\text{ keuntungan total}$
$H(x)=(x+7)+5x$
$H(x)=6x+7$
Comments
Post a Comment