Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika

Jumlah n suku pertama pada deret deret aritmatika disimbolkan dengan $S_n$. 

$S_n=U_1+U_2+U_3+...+U_n$

Rumusnya;

$S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n)$ atau $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$ atau $S_n=n. U_t$

Contoh 1;

Hitunglah jumlah 2023 suku pertama dari deret aritmatika $1+2+3+ 4+ ...$

Jawab;

$1+2+3+4+...$

$U_1=a=1$

$b=U_2-U_1=2-1=1$

Cara 1

$S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

$S_{2023}=\frac{2023}{2}(2(1)+(2023-1)1)$

$S_{2023}=\frac{2023}{2}(2+(2022)1)$

$S_{2023}=\frac{2023}{2}(2+2022)$

$S_{2023}=\frac{2023}{2}(2024)$

$S_{2023}=(2023)(1012)$

$ S_{2023}=2047276$

cara 2

$U_n=a+(n-1)b$

$U_{2023}=1+(2022)1=2023$

$S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n)$

$S_{2023}=\frac{2023}{2}(1+2023)$

$S_{2023}=\frac{2023}{2}(2024)$

$S_{2023}=2023(1012)$

$S_{2023}=2047276$

Latihan 1

1.  Hitunglah jumlah 45 suku pertama deret aritmatika $1+3+5+7+...$

2.  Hitunglah jumlah 17 suku pertama deret aritmatika $ 8+ 13+18+23+...$

Contoh 2;

 Diketahui suku ketujuh dan kesebelas deret aritmatika berturut-turut yaitu 34 dan 46, hitunglah jumlah 17 suku pertama deret tersebut.

Jawab;

$U_7=34$   maka $a+6b=34$

$U_11=46$ maka $a+10b=46$

                             ___________  $-$

                                  $-4b=-12$

                                  $b=\frac{-12}{-4}=3$

substitusi b=3 ke $a+6b=34$

$a+6(3)=34$

$a+18=34$

$a=34-18$

$a=16$

jumlah 17 suku pertama $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

                                     $S_{17}=\frac{17}{2}(2(16)+(17-1)3)$

                                     $S_{17}=\frac{17}{2}(32+(16)3)$

                                     $S_{17}=\frac{17}{2}(32+48)$

                                     $S_{17}=\frac{17}{2}(80)$

                                     $S_{17}=17(40)$

                                     $S_{17}=680$

jadi jumlah 17 suku pertama deret tersebut adalah 680.

latihan 2;

1.  Diketahui suku kelima dan kesebelas deret aritmatika berturut-turut yaitu 27 dan 51, hitunglah jumlah 20 suku pertama deret tersebut.

2.  Diketahui suku keempat dan kedelapan deret aritmatika berturut-turut yaitu $-4$ dan $-16$, hitunglah jumlah 10 suku pertama deret tersebut.    

Contoh 3;

Diketahui deret aritmatika $4+6+8+10+...$ dan jumlah n suku pertamanya 180. tentukan nilai n.

Jawab;

$a=4$, 

$b=U_2-U_1=6-4=2$

$S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

$\frac{n}{2}(2(4)+(n-1)2)=180$

$\frac{n}{2}(8+2n-2)=180$

$n(2n+6)=2\times 180$

$2n^2+6n=360$

$2n^2+6n-360=0$   dibagi dua menjadi

$n^2+3n-180=0$         ,$a=1, b=3, c=-180$

                                      cari dua bilangan yang; 

                                       Hasil kali dua bilangan tersebut $=a\times b=1\times (-180)=-180$ dan

                                       Hasil jumlah dua bilangan tersebut $=b=3$

                                       Bilangan tersebut adalah 15 dan $-12$, 

                                       dimana, $15\times (-12)=-180$ dan $15+(-12)=3$

$(n+15)(n-12)=0$

$n+15=0$ atau $n-12=0$

$n=-15$ atau $n=12$

jadi n nya bernilai 12.

Latihan 3;

1.  Diketahui deret aritmatika $2+4+6+8+....$, jumlah n suku pertama deret tersebut adalah $90$. tentukan nilai n.

2.  Perlombaan lari estafet, pelari pertama  berlari sepanjang 10 meter, pelari kedua berlari sejauh 15 meter, pelari ketiga berlari sejauh 20 meter dan pelari ke empat berlari sejauh 25 meter, pola urutan panjang lintasan yang harus di tempuh setiap pelari berbentuk deret aritmatika. panitia menyebutkan panjang seluruh lintasan yang akan ditempuh sejauh 220 meter, berapakah banyak pelari harus ikut supaya bisa mencapai titik akhir lintasan?