Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

 Misalkan lingkaran $L\equiv x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dan garis $y=mx+n$. langkah untuk mengetahui kedudukan garis $y=mx+n$ terhadap lingkaran L yaitu 

1.  Substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran sehingga membentuk persamaan kuadrat satu variabel.

     bentuk umum persamaan kuadrat; $ax^2+bx+c=0$ dimana $a\neq 0$.

2.  Hitung nilai deskriminan dari persamaan kuadrat tersebut menggunakan rumus $D=b^2-4ac$

      *  Jika nilai $D<0$, maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran L

      *  Jika nilai $D=0$, maka garis menyinggung lingkaran L

      *  Jika nilai $D>0$, maka garis meotong lingkaran didua titik.

Contoh 1;

Supaya garis $y=kx$ tidak memotong lingkaran $(x-2)^2+(y-1)^2=1$ maka;

A.  $0<k<\frac{4}{3}$

B.  $0<k<\frac{3}{4}$

C.  $-\frac{4}{3}<k<0$

D.  $-\frac{3}{4}<k<$

E.  $k<0$ atau $k>\frac{4}{3}$

Sumber soal; Sukino, M.Sc, Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan ilmu-ilmu Alam, Soal 1 halaman 183, Erlangga.2017

Jawab;

Substitusi persamaan garis $y=kx$ ke persamaan lingkaran $(x-2)^2+(y-1)^2=1$ menjadi;

$(x-2)^2+(kx-1)^2=1$

$[x^2+2(-2)x+(-2)^2]+[(kx)^2+2(-1)(kx)+(-1)^2]=1$

$[x^2-4x+4]+[k^2x^2-2kx+1]=1$

$x^2+k^2x^2-4x-2kx+4+1-1=0$

$(1+k^2)x^2+(-4-2k)x+4=0$, sehingga $a=1+k^2, b=-4-2k, c=4$

nilai deskriminan $D=b^2-4ac$

$D=(-4-2k)^2-4(1+k^2)(4)$

$D=(-4)^2+2(-4)(-2k)+(-2k)^2-16(1+k^2)$

$D=16+16k+4k^2-16-16k^2$

$D=4k^2-16k^2+16k+16-16$

$D=-12k^2+16k$

karena garisnya memotong lingkaran, maka nilai $D<0$

$-12k^2+16k<0$ sama sama dibagi 4 menjadi

$-3k^2+4k<0$

$k(-3k+4)<0$

$k=0$ atau $-3k+4=0$

                  $-3k=-4$

                  $k=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$

diantara 0 dan $\frac{4}{3}$ adalah angka 1, uji coba angka 1 tersebut pada pertidaksamaan terakhir

$k(-3k+4)<0$

$1(-3(1)+4)<0$

$1(-3+4)<0$

$1(1)<0$

$1<0$ karena pernyataan disamping salah, maka solusi bukan berada diantara 0 dan $\frac{4}{3}$ 

Jawabannya; $k<0$ atau $k>\frac{4}{3}$

Latihan 1;

1.  Garis $x=2y+4$ memotong lingkaran $x^2+y^2-6y-16=0$ panjang segemen dari garis yang terletak di dalam lingkaran itu adalah ....

     A.  $4\sqrt{10}$

     B.  $4\sqrt{5}$

     C.  $\sqrt{10}$

     D.  $2\sqrt{5}$

     E.  $\sqrt{5}$

     Sumber soal; Sukino, M.Sc, Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan ilmu-ilmu Alam, Soal 2 halaman 183, Erlangga.2017

2.  Jika garis $2x+y-4=0$ memotong lingkaran $x^2+y^2=25$ di titik $A(p,q)$ dan $B(r,s)$, nilai $p+r=$ ....

     A.  $-3,2$

     B.  $-3,0$

     C.  $-1,8$

     D.  $3,0$

     E.  $3,2$

     Sumber soal; Sukino, M.Sc, Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan ilmu-ilmu Alam, Soal 3 halaman 183, Erlangga.2017

3.  Jika $r$ positif dan garis lurus $x+y=r$ menyinggung lingkaran $L\equiv x^2+y^2=r$ maka $r=$ .....

     A.  $9$

     B.  $2\sqrt{2}$

     C.  $2$

     D.  $\sqrt{2}$

     E.  $1$

     Sumber soal; Sukino, M.Sc, Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan ilmu-ilmu Alam, Soal 4 halaman 183, Erlangga.2017

4.  Garis $y=n-x$ akan menyinggung lingkaran $L\equiv x^2+y^2=(2\sqrt{2})^2$ titik N dalam kuadran I, jika $n=$ ....

     A.  $\frac{1}{16}$

     B.  $\frac{1}{8}$

     C.  $\frac{1}{4}$

     D.  $4$

     E.  $16$

     Sumber soal; Sukino, M.Sc, Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan ilmu-ilmu Alam, Soal 5 halaman 183, Erlangga.2017

5.  Agar ada titik persekutuan antara grafik $y=2x+p$ dan $x^2+y^2=1$, maka nilai $p$ haruslah ...

     A.  $p\leq-5$ atau $p\geq 5$

     B.  $p\leq-\sqrt{5}$ atau $p\geq \sqrt{5}$

     C.  $-\sqrt{5}\leq p\leq \sqrt{5}$

     D.  $-5\leq p \leq 5$

     E.  $p\geq 0$

     Sumber soal; Sukino, M.Sc, Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan ilmu-ilmu Alam, Soal 6 halaman 183, Erlangga.2017