Menentukan $f(x)$ dari $f(ax+b)$ atau $f\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)$ atau dari bentuk lainnya.

A.  Menentukan $f(x)$ dari $f(ax+b)$

 Jika $f(x)=3x+4$, maka $f(2x+5)$ adalah...

$f(2x+5)=3(2x+5)+4$

$f(2x+5)=3(2x)+3(5)+4$

$f(2x+5)=6x+15+4$

$f(2x+5)=6x+19$

Nah sekarang umpamakan, diketahui $f(2x+5)=6x+19$, maka berapakah $f(x)$?.

Cara 1; menggunakan pemisalan.

 misalkan $2x+5=p$

               $2x=p-5$

               $x=\frac{p-5}{2}$

$f(2x+5)=6x+19$ berubah menjadi $f(p)=6\left(\frac{p-5}{2}\right)+19$

                                                       $f(p)=\frac{(6)(p-5)}{2}+19$

                                                       $f(p)=3(p-5)+19$

                                                       $f(p)=3(p)+3(-5)+19$

                                                       $f(p)=3p-15+19$

                                                       $f(p)=3p+4$

Jika variabel p diganti lagi menjadi x maka 

$f(p)=3p+4$ berubah menjadi $f(x)=3x+4$

Cara 2; Menggunakan Rumus $\frac{x-b}{a}$

$ax+b=2x+5$ maka $\frac{x-5}{2}$

$f(2x+5)=6x+19$ maka $f(x)=6\left(\frac{x-5}{2}\right)+19$

                                      $f(x)=\frac{(6)(x-5)}{2}+19$

                                      $f(x)=(3)(x-5)+19$

                                      $f(x)=(3)(x)+3(-5)+19$

                                      $f(x)=3x-15+19$

                                      $f(x)=3x+4$

Cara 3; Cara Substitusi $ax+b$

Jika $f(2x+5)=6x+19$ maka $f(2x+5)= 3(2x+5)+ 4$

                                              $f(x)=3x+4$

Tunggu penjelasan melalui videonya.

Latihan 1;

1.  Tentukan $f(2x+1)=6x+5$, tentukan $f(x)$.

2.  Tentukan $f(3x-2)=12x-13$, maka $f(x)$.

B.  Menentukan $f(x)$ jika diketahui $f\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)$ 

 Jika $f(x)=\frac{3x}{2x-1}$ dan $g(x)=\frac{2x}{3x+1}$ maka $(f o g)(x)=$ ...

$(fog)(x)=f(g(x))=f\left(\frac{2x}{3x+1})\right)$

$f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)=\frac{3\left(\frac{2x}{3x+1}\right)}{2\left(\frac{2x}{3x+1}\right)-1}$

         $=\frac{\frac{6x}{3x+1}}{\frac{4x}{3x+1}-1}$

         $=\frac{\frac{6x}{3x+1}}{\frac{4x}{3x+1}-1\left(\frac{3x+1}{3x+1}\right)}$

        $=\frac{{6x}{3x+1}}{\frac{4x-3x-1}{3x+1}}$

        $=\frac{{6x}{3x+1}}{\frac{x-1}{3x+1}}$

        $=\frac{6x}{x-1}$

Misalkan $f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)=\frac{6x}{x-1}$, maka $f(x)$ adalah...

Cara 1; Menggunakan Pemisalan

Misalkan $\frac{2x}{3x+1}=p$

               $2x=p(3x+1)$

               $2x=3px+p$  

  Kumpulkan yang memiliki variabel x ke ruas kiri sama dengan,

               $2x-3px=p$

               $x(2-3p)=p$

               $x=\frac{p}{2-3p}$

Ganti setiap x yang ada pada $f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)$ dengan $x=\frac{p}{2-3p}$

$f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)=\frac{6x}{x-1}$

$f(p)=\frac{6\left(\frac{p}{2-3p}\right)}{\frac{p}{2-3p}-1}$

     $=\frac{\frac{6p}{2-3p}}{\frac{p}{2-3p}-1\left(\frac{2-3p}{2-3p}\right)}$

     $=\frac{\frac{6p}{2-3p}}{\frac{p-2+3p}{2-3p}}$

     $=\frac{\frac{6p}{2-3p}}{\frac{4p-2}{2-3p}}$

     $=\frac{6p}{4p-2}$

     $=\frac{2(3p)}{2(2p-1)}$

     $=\frac{3p}{2p-1}$

jika $f(p)=\frac{3p}{2p-1}$ maka $f(x)=\frac{3x}{2x-1}$

Cara 2; Menggunakan rumus

Jika $\frac{ax+b}{cx+d}$ maka ubah menjadi $\frac{dx-b}{-cx+a}$

$\frac{2x+0}{3x+1}$ berubah menjadi $\frac{x-0}{-3x+2}$,

$f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)=\frac{6x}{x-1}$ 

$f(x)=\frac{6\left(\frac{x}{-3x+2}\right)}{\frac{x}{-3x+2}-1}$

     $=\frac{\frac{6x}{-3x+2}}{\frac{x}{-3x+2}-1\left(\frac{-3x+2}{-3x+2}\right)}$

     $=\frac{\frac{6x}{-3x+2}}{\frac{x+3x-2}{-3x+2}}$

     $=\frac{\frac{6x}{-3x+2}}{\frac{4x-2}{-3x+2}}$

     $=\frac{6x}{4x-2}$

     $=\frac{2(3x)}{2(2x-1)}$

     $=\frac{3x}{2x-1}$

Latihan 2;

1.  Diketahui $f\left(\frac{3x+5}{17x+11}\right)=\frac{4x+11}{17x+11}$, tenukan fungsi $f(x)$.

2.  Diketahui $g\left(\frac{1-2x}{3x+5}\right)=\frac{-9x-2}{11x+27}$, tentukan fungsi $g(x)$.

C.  Menentukan $f(x)$ jika diketahui $f(ax^2+bx+c)=px^2+qx+r$ 

Contoh ;

Fungsi $f(x^2+3x+5)=2x^2+6x+15$, tentukan $f(x)$.

Jawab;

Cara 1 ; menggunakan kuadrat sempurna;

             $y=x^2+3x+5$ 

             $y-5=x^2+3x$

 Jika $y-c=ax^2+bx$ maka $y-c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}$ sehingga menjadi ...

             $y-5=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}$

             $y-5+\frac{9}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2$

             $y-\frac{5\times 4}{4}+\frac{9}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2$

             $y-\frac{11}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2$

             $y-\frac{11}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2$

             $\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=y-\frac{11}{4}$

             $\left(x +\frac{3}{2}\right)=\sqrt{y-\frac{11}{4}}$

             $x=\sqrt{y-\frac{11}{4}}-\frac{3}{2}$  ......(1)

ganti $x^2+3x+5$ dengan $y$ dan setiap $x$ pada $2x^2+6x+15$ diganti dengan $x=\sqrt{y-\frac{11}{4}}-\frac{3}{2}$. menjadi,

  $f(y)=2\left(\sqrt{y-\frac{11}{4}}-\frac{3}{2}\right)^2+6\left(\sqrt{y-\frac{11}{4}}-\frac{3}{2}\right)+15$

  $f(y)=2\left([y-\frac{11}{4}]-2\left(\frac{3}{2}\right)\sqrt{y-\frac{11}{4}}+\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)+6\sqrt{y-\frac{11}{4}}-6\left(\frac{3}{2}\right)+15$

  $f(y)=2\left(y-\frac{11}{4}-3\sqrt{y-\frac{11}{4}}+\frac{9}{4}\right)+6\sqrt{y-\frac{11}{4}}-9+15$

  $f(y)=2y-2\left(\frac{11}{4}\right)-6\sqrt{y-\frac{11}{4}}+\frac{9}{2}+6\sqrt{y-\frac{11}{4}}-9+15$

  $f(y)=2y-\frac{11}{2}+\frac{9}{2}-9+15$

  $f(y)=2y-\frac{2}{2}-9+15$

  $f(y)=2y-1-9+15$

  $f(y)=2y+5$

  maka $f(x)=2x+5$

cara 2;

$f(x^2+3x+5)=2x^2+6x+15$

$f(x^2+3x+5)=2(x^2+3x+5)+5$

$f(x)=2x+5$

Latihan 3;

1.  Tentukan $f(x)$ dari $f(2x^2+6x-5)=6x^2+18x-25$.

2.  Tentukan nilai $f(-1)$ dari $f(2x^2-5)=6x^2-10$