Menentukan $f(x)$ Jika diketahui $g(x)$ dan $(f\circ g)(x)$

A.  Menentukan $f(x)$ jika diketahui  $(f\circ g)(x)$  dan $g(x)=ax+b$
Contoh ... 

Jika $f(x)=3x+4$ dan $g(x)=2x+5$, Tentukan $(f\circ g)(x)$ ....

Jawab
$(f\circ g)(x)=f(g(x))$
$f(g(x))=3(2x+5)+4$
$f(g(x))=3(2x)+3(5)+4$
$f(g(x))=6x+15+4$
$f(g(x))=6x+19$

Contoh ...

Diketahui $(f\circ g)(x)=6x+19$ dan $g(x)=2x+5$, maka berapakah $f(x)$?
Jawab

$(f\circ g)(x)=6x+19$

$f(g(x))=6x+19$

$f(2x+5)=6x+19$

Cara 1

Misalkan $2x+5=p$
$2x=p-5$
$x=\frac{p-5}{2}$
$f(2x+5)=6x+19$ berubah menjadi $f(p)=6\left(\frac{p-5}{2}\right)+19$
$f(p)=\frac{(6)(p-5)}{2}+19$
$f(p)=3(p-5)+19$
$f(p)=3(p)+3(-5)+19$
$f(p)=3p-15+19$
$f(p)=3p+4$
Jika variabel p diganti menjadi x
maka $f(p)=3p+4$ berubah menjadi $f(x)=3x+4$

Cara 2

Ingat invers $ax+b$ adalah $\frac{x-b}{a}$
$2x+5$ maka inversnya $\frac{x-5}{2}$
$f(2x+5)=6x+19$ maka $f(x)=6\left(\frac{x-5}{2}\right)+19$
$f(x)=\frac{(6)(x-5)}{2}+19$
$f(x)=(3)(x-5)+19$
$f(x)=(3)(x)+3(-5)+19$
$f(x)=3x-15+19$
$f(x)=3x+4$

Cara 3

Jika $f(2x+5)=6x+19$ maka $f(2x+5)= 3(2x+5)+ 4$
$f(x)=3x+4$

Latihan 1

1.  Jika $(f\circ g)(x)=6x+5$ dan $g(x)=2x+1$, maka $f(x)$ adalah ....
2.  Jika $(f\circ g)(x)=12x-13$ dan $g(x)=3x-2$, maka $f(x)$ adalah ....

B.  Menentukan $f(x)$ jika diketahui $(f\circ g)(x)$ dan $g(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ 
Contoh ...

Jika $f(x)=\frac{3x}{2x-1}$ dan $g(x)=\frac{2x}{3x+1}$ maka $(f o g)(x)=$ ...

Jawab
$(fog)(x)=f(g(x))=f\left(\frac{2x}{3x+1})\right)$

$f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)=\frac{3\left(\frac{2x}{3x+1}\right)}{2\left(\frac{2x}{3x+1}\right)-1}$

$=\frac{\frac{6x}{3x+1}}{\frac{4x}{3x+1}-1}$

$=\frac{\frac{6x}{3x+1}}{\frac{4x}{3x+1}-1\left(\frac{3x+1}{3x+1}\right)}$

$=\frac{\frac{6x}{3x+1}}{\frac{4x-3x-1}{3x+1}}$

$=\frac{\frac{6x}{3x+1}}{\frac{x-1}{3x+1}}$

$=\frac{6x}{x-1}$

jadi $(f\circ g)(x)=\frac{6x}{x-1}$

Contoh ...

Diketahui $(f\circ g)(x)=\frac{6x}{x-1}$ dan $g(x)=\frac{2x}{3x+1}$, tentukan $f(x)$....

Jawab

$(f\circ g)(x)=\frac{6x}{x-1}$

$f(g(x))=\frac{6x}{x-1}$

$f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)=\frac{6x}{x-1}$

Cara 1 
Misalkan $\frac{2x}{3x+1}=p$
$2x=p(3x+1)$
$2x=3px+p$  
Kumpulkan yang memiliki variabel x ke ruas kiri sama dengan,
$2x-3px=p$
$x(2-3p)=p$
$x=\frac{p}{2-3p}$
Ganti setiap $x$ yang ada pada $f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)$ dengan $x=\frac{p}{2-3p}$

$f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)=\frac{6x}{x-1}$

$f(p)=\frac{6\left(\frac{p}{2-3p}\right)}{\frac{p}{2-3p}-1}$

$=\frac{\frac{6p}{2-3p}}{\frac{p}{2-3p}-1\left(\frac{2-3p}{2-3p}\right)}$

$=\frac{\frac{6p}{2-3p}}{\frac{p-2+3p}{2-3p}}$

$=\frac{\frac{6p}{2-3p}}{\frac{4p-2}{2-3p}}$

$=\frac{6p}{4p-2}$

$=\frac{2(3p)}{2(2p-1)}$

$=\frac{3p}{2p-1}$

jika $f(p)=\frac{3p}{2p-1}$ maka $f(x)=\frac{3x}{2x-1}$

Jadi $f(x)=\frac{3x}{2x-1}$

Cara 2 
Jika $\frac{ax+b}{cx+d}$ maka ubah menjadi $\frac{dx-b}{-cx+a}$

$\frac{2x+0}{3x+1}$ berubah menjadi $\frac{x-0}{-3x+2}$,

$f\left(\frac{2x}{3x+1}\right)=\frac{6x}{x-1}$ 

$f(x)=\frac{6\left(\frac{x}{-3x+2}\right)}{\frac{x}{-3x+2}-1}$

$=\frac{\frac{6x}{-3x+2}}{\frac{x}{-3x+2}-1\left(\frac{-3x+2}{-3x+2}\right)}$

$=\frac{\frac{6x}{-3x+2}}{\frac{x+3x-2}{-3x+2}}$

$=\frac{\frac{6x}{-3x+2}}{\frac{4x-2}{-3x+2}}$

$=\frac{6x}{4x-2}$

$=\frac{2(3x)}{2(2x-1)}$

$=\frac{3x}{2x-1}$

Latihan 2

1.  Diketahui $(f\circ g)(x)=\frac{4x+11}{17x+11}$ dan $g(x)=\frac{3x+5}{17+11}$, tentukan fungsi $f(x)$.
2.  Diketahui  $(g\circ f)(x)=\frac{-9x-2}{11x+27}$ dan $f(x)=\frac{1-2x}{3x+5}$, tentukan fungsi $g(x)$.

C.  Menentukan $f(x)$ jika diketahui $(f\circ g)(x)$ dan $g(x)=ax^2+bx+c$ 
Contoh ....
Diketahui fungsi $(f\circ g)(x)=2x^2+6x+15$ dan $g(x)=x^2+3x+5$, tentukan $f(x)$.
Jawab

$(f\circ g)(x)=2x^2+6x+15$

$f(g(x))=2x^2+6x+15$

$f(x^2+3x+5)=2x^2+6x+15$

Cara 1:

Ingat invers dari $y=ax^2+bx+c$ adalah $y^{-1}=\frac{-b\pm\sqrt{4ax+b^2-4ac}}{2a}$

invers dari $y=x^2+3x+5$ adalah 

$y^{-1}=\frac{-3\pm\sqrt{4(1)x+3^2-4(1)(5)}}{2(1)}$

$y^{-1}=\frac{-3\pm\sqrt{4x-11}}{2}$

$f(x^2+3x+5)=2x^2+6x+15$

$f(x)=2\left(\frac{-3+\sqrt{4x-11}}{2}\right)^2+6\left(\frac{-3+\sqrt{4x-11}}{2}\right)+15$

$f(x)=2\left(\frac{(-3+\sqrt{4x-11})^2}{2^2}\right)+6\left(\frac{-3+\sqrt{4x-11}}{2}\right)+15$

$f(x)=2\left(\frac{(9-6\sqrt{4x-11}+(4x-11)}{4}\right)+6\left(\frac{-3+\sqrt{4x-11}}{2}\right)+15$

$f(x)=\left(\frac{-6\sqrt{4x-11}+4x-2}{2}\right)+6\left(\frac{-3+\sqrt{4x-11}}{2}\right)+\frac{30}{2}$

$f(x)=\left(\frac{-6\sqrt{4x-11}+4x-2}{2}\right)+\left(\frac{-18+6\sqrt{4x-11}}{2}\right)+\frac{30}{2}$

$f(x)=\frac{-6\sqrt{4x-11}+4x-2-18+6\sqrt{4x-11}+30}{2}$

$f(x)=\frac{4x+10}{2}$

$f(x)=2x+5$

Jadi $f(x)=2x+5$

cara 2 
$f(x^2+3x+5)=2x^2+6x+15$
$f(x^2+3x+5)=2(x^2+3x+5)+5$

$f(x)=2x+5$

Latihan 3

1.  Jika $(f\circ g)(x)=6x^2+18x-25$ dan $g(x)=2x^2+6x-5$,maka $f(x)$ adalah ....
2.  Jika $(f\circ g)(x)=6x^2-10$ dan $g(x)=2x^2-5$,maka  nilai $f(-1)$ adalah ....