Skip to main content

Operasi Vektor

By

 A.  Perkalian sebuah vektor dengan skalar

       Vektor $\overrightarrow{a}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)$ dan skalar $k$ maka $k\overrightarrow{a}=k\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}kx\\ky\\kz\end{matrix}\right)$.

Contoh 1;

Diberikan vektor $\overrightarrow{u}=\left((\begin{matrix}3\\2\\-1\end{matrix}\right)$, tentukan $-3\overrightarrow{u}$..

Jawab;

$-3\overrightarrow{u}=-3\left(\begin{matrix}3\\2\\-1\end{matrix}\right)$

        $=\left(\begin{matrix}-3(3)\\-3(2)\\-3(-1)\end{matrix}\right)$

        $=\left(\begin{matrix}-9\\-6\\3\end{matrix}\right)$  

Latihan 1;

1.  Diberikan vektor $\overrightarrow{v}=\left(\begin{matrix}-1\\2\\-4\end{matrix}\right)$ tentukan $-2\overrightarrow{v}$.

2.  Diberikan vektor $\overrightarrow{a}=3i+2j-10k$, tentukan $3\overrightarrow{a}$

B.  Penjumlahan dua vektor

     1.  Metode segitiga

          Metode segitiga dilakukan jika ujung vektor pertama berdempet dengan pangkal vektor kedua. seperti gambar berikut ini.

     2.  Metode Jajargenjang

           Metode jajar genjang jika pangkal vektor pertama sama posisinya dengan pangkal vektor kedua. seperti pada gambar berikut;
cara menyelesaikannya menggunakan bayangan seperti berikut;

      Contoh 2.
      Diketahui titik $A(2,4), B(4,1)$ dan $C(6,2)$ gambarlah dan tentukan komponen vektor ;
      1.  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ 
      2.  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
      Jawab;
      1.  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ 
           
               $\overrightarrow{AB}=B-A=OB-OA=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$ 
               $\overrightarrow{BC}=C-B=OC-OB=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$ 
 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right) $ 

 2.  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$  
    
     $\overrightarrow{AB}=B-A=OB-OA=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$ 
      $\overrightarrow{AC}=C-A=OC-OA=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$ 
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right) $

       Latihan 2;
      Diberikan titik $D(2,1), E(4,-2)$ dan $F(5,2)$, gambarlah dan tentukan komponen vektor ;
      1.  $\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}$ 
      2.  $\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}$

C.  Selisih dua vektor

      $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$
      Contoh;
      Pada gambar di bawah diketahui vektor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$, 
       1)  Lukislah vektor tunggal yang mewakili $\overline{a}-2\overline{b}$
       2)  Tentukan komponen vektor $\overline{a}-2\overline{b}$
      
   Jawab;
   1)  $-2\overline{b}$ berarti vektornya dua kali vektor$\overline{b}$ dan arahnya berlawanan dengan vektor $\overline{b}$. seperti gambar berikut.

     2)  komponen vektor $\overline{a}=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$
          komponen vektor $\overline{b}=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$
          komponen vektor $\overline{a}-2\overline{b}=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)+(-2)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$
                  $\overline{a}-2\overline{b}=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+(-4)\\0+(-4)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$

Latihan 3;
Diketahui vektor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$ seperti gambar dibawah, 
1)  lukislah vektor tunggal yang mewakili $\overline{a}-2\overline{b}$.
2)  lukislah vektor tunggal yang mewakili $2\overline{b}-3\overline{a}$
3)  tentukan komponen vektor $\overline{a}-2\overline{b}$
4)  tentukan komponen vektor $2\overline{b}-3\overline{a}$
       

D.  Perkalian pada vektor

      1.  Perkalian titik (dot)

           $\overline{a}.\overline{b}=|\overline{a}||\overline{b}| cos \theta$ dimana $\theta$ merupakan sudut antara vektor $\overline{a}$ dan vektor $\overline{b}$.

Materi prasyarat ;
$cos 0^o=1$
$cos 30^o=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$cos 45^o=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos 60^o=\frac{1}{2}$
$cos 90^o=0$
$cos 120^o=-\frac{1}{2}$
$cos 135^o=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos 150^o=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$cos 180^o=-1$
       
    Contoh 4;
    Tentukan hasil skalar dua vektor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$. jika $|\overline{a}|=6, |\overline{b}|=7$, dan besar sudut antara vekor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$ adalah $45^o$
     Jawab;
     $\overline{a}.\overline{b}=|a||b| cos\theta$
     $\overline{a}.\overline{b}=6\times 7\times cos 45^o$
                      $=42\times \frac{1}{2}\sqrt{2}$
                      $=21\sqrt{2}$

    Latihan 4;
    1.  Tentukan hasil kali skalar dua vektor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$. Jika $|\overline{a}|=8, |\overline{b}|=9$, dan besar sudut antara vektor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$ adalah $30^o$.
    2.  Tentukan hasil kali skalar dua vektor $\overline{u}$ dan $\overline{v}$. jika $|\overline{u}|=2, |\overline{v}|=3$, dan besar sudut antara vektor $\overline{u}$ dan $\overline{v}$ adalah $120^o$

       Perkalian titik dalam bentuk komponen

       Misalkan vektor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$ dinyatakan dengan bentuk tripel berikut ini. 
       $\overline{a}=a_1i+a_2j+a_3k$ dan
       $\overline{b}=b_1i+b_2j+b_3k$
       karena;
       i.i atau j.j atau k.k membentuk sudut $0^o$ sehingga nilai $cos 0^o=1$
       i.j atau i.k atau j.k membentuk sudut $90^o$ sehingga nilai $cos 90^o=0$
       $\overline{a}\overline{b}=(a_1i+a_2j+a_3k)(b_1i+b_2j+b_3k)$
       $=a_1i(b_1i+b_2j+b_3k)+a_2j(b_1i+b_2j+b_3k)+a_3k(b_1i+b_2j+b_3k)$
       $=[a_1ib_1i+a_1ib_2j+a_1ib_3k]+[a_2jb_1i+a_2jb_2j+a_2jb_3k]+[a_3kb_1i+a_3kb_2j+a_3kb_3k]$
           $=a_1b_1(i.i)+a_1b_2(i.j)+a_1b_3(i.k)+a_2b_1(j.i)+a_2b_2(j.j)+a_2b_3(j.k)+a_3b_1(k.i)+a_3b_2(k.j)+a_3b_3(k.k)$
    $=a_1b_1(1)+a_1b_2(0)+a_1b_3(0)+a_2b_1(0)+a_2b_2(1)+a_2b_3(0)+a_3b_1(0)+a_3b_2(0)+a_3b_3(1)$
$=a_1b_1+0+0+0+a_2b_2+0+0+0+a_3b_3$
$=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
jadi $\overline{a}\overline{b}=(a_1i+a_2j+a_3k)(b_1i+b_2j+b_3k)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

    Contoh 5
    Tentukan hasil kali skalar dua vektor $\overline{a}=3i+2j-4k, \overline{b}=5i-j-7k$.

    Jawab;
    $\overline{a}.\overline{b}=(3i+2j-4k)(5i-j-7k)$
                 $=(3)(5)+(2)(-1)+(-4)(-7)$
                 $=15-2+28=41$
    jadi $\overline{a}\overline{b}=41$

    Latihan 5
    1.  Tentukan hasil kali skalar dua vektor $\overline{a}=2i-3j-4k,\overline{b}=8i+7j+6k$.
    2.  tentukan hasil kali skalar dua vektor $\overline{u}=3j-k, \overline{v}=2i+5k$

       Sudut Antara dua Vektor



       $\overline{a}. \overline{b}=|\overline{a}||\overline{b}| cos \theta$ atau 
       $|\overline{a}||\overline{b}| cos \theta=\overline{a}.\overline{b}$    
       $\frac{|\overline{a}||\overline{b}|}{|\overline{a}||\overline{b}|} cos \theta=\frac{\overline{a}. \overline{b}}{|\overline{a}||\overline{b}|}$     (kedua ruas dibagi $|\overline{a}||\overline{b}|$)
      $cos \theta =\frac{\overline{a}.\overline{b}}{|\overline{a}||\overline{b}|}$

    Contoh 6;
    Diberikan vektor $\overline{a}=3i+6j+2k$ dan $\overline{b}=2i+3j-6k$, tentukan kosinus antara vektor $\overline{a}$ dan vektor $\overline{b}$.
    Jawab;
    $cos \theta=\frac{\overline{a}. \overline{b}}{|\overline{a}||\overline{b}|}$

    Jika $\overline{a}=3i+6j+2k$ maka $|\overline{a}|=\sqrt{3^2+6^2+2^2}=\sqrt{9+36+4}=\sqrt{49}=7$

    Jika $\overline{b}=2i+3j-6k$ maka $|\overline{b}|=\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$

    $cos \theta=\frac{\overline{a}. \overline {b}}{|\overline{a}||\overline{b}|}$

               $=\frac{(3i+6j+2k).(2i+3j-6k)}{(7)(7)}$

               $=\frac{3(2)+6(3)+2(-6)}{(7)(7)}$

               $=\frac{6+18-12}{49}$

               $=\frac{12}{49}$

     Jadi kosinus antara vektor $\overline{a}$ dan vektor $\overline{b}$ adalah $\frac{12}{49}$

    Latihan 6
    1.  Diberikan vektor $\overline{u}=i+3j-\sqrt{6}k$ dan vektor $\overline{v}=3i-j+\sqrt{6}k$, tentukan kosinus  sudut antara vektor $\overline{u}$ dan vektor $\overline{b}$
    2.  Diberikan vektor $\overline{c}=3i-4k$ dan vektor $\overline{d}=8j+6k$, tentukan kosinus sudut antara vektor $\overline{c}$ dan $\overline{d}$
       
    Contoh 7
    Diketahui segitiga ABC dengan  $A(4,1,2), B(0,9,-6)$, dan $C(5,3,2)$. Nilai $cos C$ adalah...
    Jawab
    $\overline{CA}=A-C=\left(\begin{matrix}4\\1\\2\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}5\\3\\2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\\0\end{matrix}\right)$

    $\overline{CB}=B-C=\left(\begin{matrix}0\\9\\-6\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}5\\3\\2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\6\\-8\end{matrix}\right)$

    $cos C=\frac{\left(\begin{matrix}-1\\-2\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\6\\-8\end{matrix}\right)}{\left(\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2}\right)\left(\sqrt{(-5)^2+6^2+(-8)^2}\right)}$

    $cos C=\frac{(-1)(-5)+(-2)(6)+(0)(-8)}{\left(\sqrt{1+4+0}\right)\left(\sqrt{25+36+64}\right)}$

    $cos C=\frac{5-12+0}{\left(\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{125}\right)}$

    $cos C=\frac{-7}{\sqrt{5\times125}}$
    
     $ cos C=\frac{-7}{\sqrt{625}}$

     $ cos C=\frac{-7}{25}$

     Latihan 7;
     1.  Titik-titik sudut sebuah segitiga adalah $A(2,3,1), B(-1,1,2)$ dan $C(1,-2,3)$, hitung kosinus C.

     2.  Jika titik-titik sudut sebuah segitiga ABC adalah $A(-1,0,2), B(2,1,-1)$ dan $C(1,-2,2)$, hitung besaran kosinus C.

     Contoh 8;
     Diketahui titik $A(1,0,-2), B(2,1,-1)$ dan $C(2,0,-3)$. tentukan;
     a)  Kosinus antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
     b)  Sinus antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
     c)  Sudut antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
     Jawab;
     a)  Kosinus antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
          $\overrightarrow{AB}=B-A=\left(\begin{matrix}2\\1\\-1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\0\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-1\\1-0\\-1-(-2)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)$

           $\overrightarrow{AC}=C-A=\left(\begin{matrix}2\\0\\-3\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\0\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-1\\0-0\\-1-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\\-3\end{matrix}\right)$

          $cos A=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$

          $cos A=\frac{\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\\-3\end{matrix}\right)}{\left(\sqrt{1^2+1^2+1^2}\right)\left(\sqrt{1^2+0^2+(-3)^2}\right)}$

         $cos A=\frac{1\times 1+1\times 0+1\times (-3)}{\left(\sqrt{1+1+1}\right)\left(\sqrt{1+0+9}\right)}$

         $cos A=\frac{1+0-3}{\left(\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{10}\right)}$

         $cos A=\frac{-2}{\sqrt{3\times 10}}$

         $cos A=\frac{-2}{\sqrt{30}}$

         $cos A=\frac{-2}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$

         $cos A=\frac{-2}{30}\sqrt{30}$
     
         $cos A=\frac{-1}{15}\sqrt{30}$

     b)  Sinus antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$

          $cos A=\frac{\text{samping }\angle A}{\text{miring}}=\frac{-\sqrt{30}}{15}$
          berarti $\text{samping}=-\sqrt{30}, \text{   miring}=15$

          $\text{ Depan  }\angle A=\sqrt{(15)^2-\left(-\sqrt{30}\right)^2}=\sqrt{225-30}=\sqrt{195}$

          $sin A=\frac{\text{depan} \angle A}{\text{miring}}=\frac{\sqrt{195}}{15}$

     c)  Sudut antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$

           $\angle A=\text{arc sin}\left(\frac{\sqrt{195}}{15}\right)= \text{arc sin}\left(\frac{13,96424}{15}\right)=\text{arc sin}(0,930949336253)=1,197004152^\circ$

     Latihan 8;
    1.  Diketahui titik $A(0,2,4), B(3,0,5)$ dan $C(1,3,0)$. tentukan;
         a)  Kosinus antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
         b)  Sinus antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
         c)  Sudut antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
    2.  Diketahui titik $D(0,-2,1), E(-2,0,4)$ dan $F(3,-2,0)$. tentukan;
         a)  Kosinus antara vektor $\overrightarrow{FD}$ dengan $\overrightarrow{FE}$
         b)  Sinus antara vektor $\overrightarrow{FD}$ dengan $\overrightarrow{FE}$
         c)  Sudut antara vektor $\overrightarrow{FD}$ dengan $\overrightarrow{FE}$


D.  Teorema titik tengah



Labels:

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Pecatur A, B, C dan D bertanding dalam suatu turnamen catur, Urutan pemain yang memperoleh nilai tertinggi sampai ke terendah adalah ...

By
  Pecatur A, B, C dan D bertanding dalam suatu turnamen catur. Setiap pemain saling bertemu satu kali. pada setiap pertandingan, pemain yang menang, seri dan kalah, berturut-turut mendapatkan nilai 2, 1, dan 0. Data hasil pertandingan adalah A menang 2 kali, B seri dua kali, C kalah dua kali, dan D tidak pernah seri. Pembahasan; dari tabel setiap pecatur bertanding sebanyak tiga kali; seperti A dengan B, A dengan C dan A dengan D.  *B dua kali seri pastinya B  seri ketika melawan A dan melawan C (karena D tidak pernah seri),  * A menang 2 kali pastinya A menang melawan C dan melawan D ( karena A melawan B seri) *  kalah 2 kali pastinya C kalah melawan A dan melawan D (karena C seri melawan B) B dan D belum ditentukan menang atau kalah nya.   Pertandingan     Menang     seri     kalah                 A dan B         -   B/A     -      A dan C        A    -   C      A dan D       A    -     D      B dan C        -   B/C     -      B dan D      B/D    -   B/D    ?      C dan D        D
Post a Comment
Read more

SOAL AKM TRANSFORMASI MATRIKS

By
 1.   Tata mendapatkan tugas dari Yuliana untuk menentukan besaran translasi yang dilakukannya jika posisi awalnya dititik $(4,2)$ dan posisi akhirnya$(-1,-2)$  berapakah besaran translasinya? Jawab; Pososi Akhir = posisi awal + besaran translasi $\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$ $4+a=-1$ maka $a=-1-4=-5$ $2+b=-2$ maka $b=-2-2=-4$ jadi besaran translasinya $(-5,-4)$ 2.   Persamaan parabola $y=2x^2+6$ ditranslasikan oleh matriks $\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ akan mempunyai bayangan parabola dengan titik puncak …. Jawab; $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ $x+1=x'$ maka $x=x'-1$ .....(1) $y+3=y'$ maka $y=y'-3$ ....(2) substitusi (1) dan (2) ke $y=2^2+6$ menjadi $y'-3=2(x'-1)^2+6$ $y'-3=2(x'^2-2x'+1)+6$ $y'-3=2x'^2-4x'
1 comment
Read more

SOAL AKM MATRIKS

By
  7.   Jawab; a. BENAR B. Salah (seharusnya sama dengan g bukan h) C. Salah (seharusnya kotak silang bukan kotak dua) D. Salah E.  Salah 8.   Jawab; $A_{2\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan)  $B_{2\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom B sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $A_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom A tidak sama dengan banyak baris C (tida dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom C sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $B_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom B tidak sama dengan banyak baris C ( tidak dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan) jadi banyak perkalian yang dapat dilakukan adalah 6 9.   Matriks $L=\left(\begin{matrix}a&b&c\\1&2&3\\d&e&f\end{matrix}\right)$, jika $L^T$ merupakan transpose dari matriks L, ma
Post a Comment
Read more