A. Perkalian sebuah vektor dengan skalar
Vektor $\overrightarrow{a}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)$ dan skalar $k$ maka $k\overrightarrow{a}=k\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}kx\\ky\\kz\end{matrix}\right)$.
Contoh 1;
Diberikan vektor $\overrightarrow{u}=\left((\begin{matrix}3\\2\\-1\end{matrix}\right)$, tentukan $-3\overrightarrow{u}$..
Jawab;
$-3\overrightarrow{u}=-3\left(\begin{matrix}3\\2\\-1\end{matrix}\right)$
$=\left(\begin{matrix}-3(3)\\-3(2)\\-3(-1)\end{matrix}\right)$
$=\left(\begin{matrix}-9\\-6\\3\end{matrix}\right)$
Latihan 1;
1. Diberikan vektor $\overrightarrow{v}=\left(\begin{matrix}-1\\2\\-4\end{matrix}\right)$ tentukan $-2\overrightarrow{v}$.
2. Diberikan vektor $\overrightarrow{a}=3i+2j-10k$, tentukan $3\overrightarrow{a}$
B. Penjumlahan dua vektor
1. Metode segitiga
Metode segitiga dilakukan jika ujung vektor pertama berdempet dengan pangkal vektor kedua. seperti gambar berikut ini.
2. Metode Jajargenjang
Metode jajar genjang jika pangkal vektor pertama sama posisinya dengan pangkal vektor kedua. seperti pada gambar berikut;
cara menyelesaikannya menggunakan bayangan seperti berikut;
Contoh 2.
Diketahui titik $A(2,4), B(4,1)$ dan $C(6,2)$ gambarlah dan tentukan komponen vektor ;
1. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$
2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
Jawab;
1. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{AB}=B-A=OB-OA=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$
$\overrightarrow{BC}=C-B=OC-OB=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right) $
2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AC}=C-A=OC-OA=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right) $
Latihan 2;
Diberikan titik $D(2,1), E(4,-2)$ dan $F(5,2)$, gambarlah dan tentukan komponen vektor ;
1. $\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}$
2. $\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}$
C. Selisih dua vektor
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$
Contoh;
Pada gambar di bawah diketahui vektor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$,
1) Lukislah vektor tunggal yang mewakili $\overline{a}-2\overline{b}$
2) Tentukan komponen vektor $\overline{a}-2\overline{b}$
1) $-2\overline{b}$ berarti vektornya dua kali vektor$\overline{b}$ dan arahnya berlawanan dengan vektor $\overline{b}$. seperti gambar berikut.
2) komponen vektor $\overline{a}=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$
komponen vektor $\overline{b}=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$
komponen vektor $\overline{a}-2\overline{b}=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)+(-2)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$
$\overline{a}-2\overline{b}=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+(-4)\\0+(-4)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$
Latihan 3;
Diketahui vektor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$ seperti gambar dibawah,
1) lukislah vektor tunggal yang mewakili $\overline{a}-2\overline{b}$.
2) lukislah vektor tunggal yang mewakili $2\overline{b}-3\overline{a}$
3) tentukan komponen vektor $\overline{a}-2\overline{b}$
4) tentukan komponen vektor $2\overline{b}-3\overline{a}$
D. Perkalian pada vektor
1. Perkalian titik (dot)
$\overline{a}.\overline{b}=|\overline{a}||\overline{b}| cos \theta$ dimana $\theta$ merupakan sudut antara vektor $\overline{a}$ dan vektor $\overline{b}$.
Materi prasyarat ;
$cos 0^o=1$
$cos 30^o=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$cos 45^o=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos 60^o=\frac{1}{2}$
$cos 90^o=0$
$cos 120^o=-\frac{1}{2}$
$cos 135^o=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos 150^o=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$cos 180^o=-1$
Contoh 4;
Tentukan hasil skalar dua vektor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$. jika $|\overline{a}|=6, |\overline{b}|=7$, dan besar sudut antara vekor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$ adalah $45^o$
Jawab;
$\overline{a}.\overline{b}=|a||b| cos\theta$
$\overline{a}.\overline{b}=6\times 7\times cos 45^o$
$=42\times \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$=21\sqrt{2}$
Latihan 4;
1. Tentukan hasil kali skalar dua vektor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$. Jika $|\overline{a}|=8, |\overline{b}|=9$, dan besar sudut antara vektor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$ adalah $30^o$.
2. Tentukan hasil kali skalar dua vektor $\overline{u}$ dan $\overline{v}$. jika $|\overline{u}|=2, |\overline{v}|=3$, dan besar sudut antara vektor $\overline{u}$ dan $\overline{v}$ adalah $120^o$
Perkalian titik dalam bentuk komponen
Misalkan vektor $\overline{a}$ dan $\overline{b}$ dinyatakan dengan bentuk tripel berikut ini.
$\overline{a}=a_1i+a_2j+a_3k$ dan
$\overline{b}=b_1i+b_2j+b_3k$
karena;
i.i atau j.j atau k.k membentuk sudut $0^o$ sehingga nilai $cos 0^o=1$
i.j atau i.k atau j.k membentuk sudut $90^o$ sehingga nilai $cos 90^o=0$
$\overline{a}\overline{b}=(a_1i+a_2j+a_3k)(b_1i+b_2j+b_3k)$
$=a_1i(b_1i+b_2j+b_3k)+a_2j(b_1i+b_2j+b_3k)+a_3k(b_1i+b_2j+b_3k)$
$=[a_1ib_1i+a_1ib_2j+a_1ib_3k]+[a_2jb_1i+a_2jb_2j+a_2jb_3k]+[a_3kb_1i+a_3kb_2j+a_3kb_3k]$
$=a_1b_1(i.i)+a_1b_2(i.j)+a_1b_3(i.k)+a_2b_1(j.i)+a_2b_2(j.j)+a_2b_3(j.k)+a_3b_1(k.i)+a_3b_2(k.j)+a_3b_3(k.k)$
$=a_1b_1(1)+a_1b_2(0)+a_1b_3(0)+a_2b_1(0)+a_2b_2(1)+a_2b_3(0)+a_3b_1(0)+a_3b_2(0)+a_3b_3(1)$
$=a_1b_1+0+0+0+a_2b_2+0+0+0+a_3b_3$
$=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
jadi $\overline{a}\overline{b}=(a_1i+a_2j+a_3k)(b_1i+b_2j+b_3k)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
Contoh 5
Tentukan hasil kali skalar dua vektor $\overline{a}=3i+2j-4k, \overline{b}=5i-j-7k$.
Jawab;
$\overline{a}.\overline{b}=(3i+2j-4k)(5i-j-7k)$
$=(3)(5)+(2)(-1)+(-4)(-7)$
$=15-2+28=41$
jadi $\overline{a}\overline{b}=41$
Latihan 5
1. Tentukan hasil kali skalar dua vektor $\overline{a}=2i-3j-4k,\overline{b}=8i+7j+6k$.
2. tentukan hasil kali skalar dua vektor $\overline{u}=3j-k, \overline{v}=2i+5k$
Sudut Antara dua Vektor
$\overline{a}. \overline{b}=|\overline{a}||\overline{b}| cos \theta$ atau
$|\overline{a}||\overline{b}| cos \theta=\overline{a}.\overline{b}$
$\frac{|\overline{a}||\overline{b}|}{|\overline{a}||\overline{b}|} cos \theta=\frac{\overline{a}. \overline{b}}{|\overline{a}||\overline{b}|}$ (kedua ruas dibagi $|\overline{a}||\overline{b}|$)
$cos \theta =\frac{\overline{a}.\overline{b}}{|\overline{a}||\overline{b}|}$
Contoh 6;
Diberikan vektor $\overline{a}=3i+6j+2k$ dan $\overline{b}=2i+3j-6k$, tentukan kosinus antara vektor $\overline{a}$ dan vektor $\overline{b}$.
Jawab;
$cos \theta=\frac{\overline{a}. \overline{b}}{|\overline{a}||\overline{b}|}$
Jika $\overline{a}=3i+6j+2k$ maka $|\overline{a}|=\sqrt{3^2+6^2+2^2}=\sqrt{9+36+4}=\sqrt{49}=7$
Jika $\overline{b}=2i+3j-6k$ maka $|\overline{b}|=\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$
$cos \theta=\frac{\overline{a}. \overline {b}}{|\overline{a}||\overline{b}|}$
$=\frac{(3i+6j+2k).(2i+3j-6k)}{(7)(7)}$
$=\frac{3(2)+6(3)+2(-6)}{(7)(7)}$
$=\frac{6+18-12}{49}$
$=\frac{12}{49}$
Jadi kosinus antara vektor $\overline{a}$ dan vektor $\overline{b}$ adalah $\frac{12}{49}$
Latihan 6
1. Diberikan vektor $\overline{u}=i+3j-\sqrt{6}k$ dan vektor $\overline{v}=3i-j+\sqrt{6}k$, tentukan kosinus sudut antara vektor $\overline{u}$ dan vektor $\overline{b}$
2. Diberikan vektor $\overline{c}=3i-4k$ dan vektor $\overline{d}=8j+6k$, tentukan kosinus sudut antara vektor $\overline{c}$ dan $\overline{d}$
Contoh 7
Diketahui segitiga ABC dengan $A(4,1,2), B(0,9,-6)$, dan $C(5,3,2)$. Nilai $cos C$ adalah...
Jawab
$\overline{CA}=A-C=\left(\begin{matrix}4\\1\\2\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}5\\3\\2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\\0\end{matrix}\right)$
$\overline{CB}=B-C=\left(\begin{matrix}0\\9\\-6\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}5\\3\\2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\6\\-8\end{matrix}\right)$
$cos C=\frac{\left(\begin{matrix}-1\\-2\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\6\\-8\end{matrix}\right)}{\left(\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2}\right)\left(\sqrt{(-5)^2+6^2+(-8)^2}\right)}$
$cos C=\frac{(-1)(-5)+(-2)(6)+(0)(-8)}{\left(\sqrt{1+4+0}\right)\left(\sqrt{25+36+64}\right)}$
$cos C=\frac{5-12+0}{\left(\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{125}\right)}$
$cos C=\frac{-7}{\sqrt{5\times125}}$
$ cos C=\frac{-7}{\sqrt{625}}$
$ cos C=\frac{-7}{25}$
Latihan 7;
1. Titik-titik sudut sebuah segitiga adalah $A(2,3,1), B(-1,1,2)$ dan $C(1,-2,3)$, hitung kosinus C.
2. Jika titik-titik sudut sebuah segitiga ABC adalah $A(-1,0,2), B(2,1,-1)$ dan $C(1,-2,2)$, hitung besaran kosinus C.
Contoh 8;
Diketahui titik $A(1,0,-2), B(2,1,-1)$ dan $C(2,0,-3)$. tentukan;
a) Kosinus antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
b) Sinus antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
c) Sudut antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
Jawab;
a) Kosinus antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AB}=B-A=\left(\begin{matrix}2\\1\\-1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\0\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-1\\1-0\\-1-(-2)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)$
$\overrightarrow{AC}=C-A=\left(\begin{matrix}2\\0\\-3\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\0\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-1\\0-0\\-1-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\\-3\end{matrix}\right)$
$cos A=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$
$cos A=\frac{\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\\-3\end{matrix}\right)}{\left(\sqrt{1^2+1^2+1^2}\right)\left(\sqrt{1^2+0^2+(-3)^2}\right)}$
$cos A=\frac{1\times 1+1\times 0+1\times (-3)}{\left(\sqrt{1+1+1}\right)\left(\sqrt{1+0+9}\right)}$
$cos A=\frac{1+0-3}{\left(\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{10}\right)}$
$cos A=\frac{-2}{\sqrt{3\times 10}}$
$cos A=\frac{-2}{\sqrt{30}}$
$cos A=\frac{-2}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$
$cos A=\frac{-2}{30}\sqrt{30}$
$cos A=\frac{-1}{15}\sqrt{30}$
b) Sinus antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
$cos A=\frac{\text{samping }\angle A}{\text{miring}}=\frac{-\sqrt{30}}{15}$
berarti $\text{samping}=-\sqrt{30}, \text{ miring}=15$
$\text{ Depan }\angle A=\sqrt{(15)^2-\left(-\sqrt{30}\right)^2}=\sqrt{225-30}=\sqrt{195}$
$sin A=\frac{\text{depan} \angle A}{\text{miring}}=\frac{\sqrt{195}}{15}$
c) Sudut antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
$\angle A=\text{arc sin}\left(\frac{\sqrt{195}}{15}\right)= \text{arc sin}\left(\frac{13,96424}{15}\right)=\text{arc sin}(0,930949336253)=1,197004152^\circ$
Latihan 8;
1. Diketahui titik $A(0,2,4), B(3,0,5)$ dan $C(1,3,0)$. tentukan;
a) Kosinus antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
b) Sinus antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
c) Sudut antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{AC}$
2. Diketahui titik $D(0,-2,1), E(-2,0,4)$ dan $F(3,-2,0)$. tentukan;
a) Kosinus antara vektor $\overrightarrow{FD}$ dengan $\overrightarrow{FE}$
b) Sinus antara vektor $\overrightarrow{FD}$ dengan $\overrightarrow{FE}$
c) Sudut antara vektor $\overrightarrow{FD}$ dengan $\overrightarrow{FE}$
D. Teorema titik tengah
Comments
Post a Comment