Persamaan Lingkaran Berbentuk $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

 Jika persamaan umum lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$  dijabarkan;

         $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

         $x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2$

         $x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2=0$

        $x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$

Misalkan ; 

                 $-2a=A \text{ maka } a=\frac{A}{-2}=-\frac{A}{2}$

                 $-2b=B \text{ maka }b=\frac{B}{-2}=-\frac{B}{2}$

                  $a^2+b^2-r^2=C \text{ maka }r^2=a^2+b^2-C \text{ atau }r=\sqrt{a^2+b^2-C}$

Sehingga $x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$, menjadi $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Persamaan lingkaran bentuk kedua yaitu $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ 

dimana;

          Pusat lingkaran $(a,b)=\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$

          Jari-jari lingkaran $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$

Contoh 1;

Tulislah persamaan lingkaran yang berpusat di M(-2,-1) dan berjari-jari 6.

Jawab;

Pusat lingkaran $(a,b)=(-2,-1)$ berarti $a=-2$ dan $b=-1$

jari-jari : $r=6$

Cara 1;

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ maka $(x-(-2))^2+(y-(-1))^2=6^2$

                                               $(x+2)^2+(y+1)^2=36$

                                               $x^2+2(2)x+4+y^2+2(1)y+1=36$

                                               $x^2+4x+4+y^2+2y+1-36=0$

                                               $x^2+y^2+4x+2y+4+1-36=0$

                                               $x^2+y^2+4x+2y-31=0$

jadi persamaan lingkarannya $x^2+y^2+4x+2y-31=0$

Cara 2;

$A=-2a$ maka $A=-2(-2)=4$

$B=-2b$ maka $B=-2(-1)=2$

$C=a^2+b^2-r^2$ maka $C=(-2)^2+(-1)^2-6^2=4+1-36=-31$

Persamaan lingkarannya $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ maka $x^2+y^2+4x+2y-31=0$

Latihan 1;

1.  Titik pusat lingkaran (1,-4) dan berjari-jari 3, tentukan persamaan lingkaran dalam bentuk $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

2. Titik pusat lingkaran (2,4) dan berjari-jari 9, tentukan persaman lingkaran dalam bentuk $x^2+y^2+Ax+By+C=0$.

Contoh 2;

Titik pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ adalah ...

Jawab;

$A=-4, B=10, C=20$

Pusat $(a,b)=\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)=\left(-\frac{-4}{2}, -\frac{10}{2}\right)=(2,-5)$

berarti $a=2$ dan $b=-5$

Jari-jari $r=\sqrt{a^2+b^2-C}=\sqrt{(2)^2+(-5)^2-20}=\sqrt{4+25-20}=\sqrt{9}=\pm 3$

karena jari-jari selalu bernilai positif maka $r=3$

jadi pusatnya $(2,-5)$ dan jari-jarinya 3

Latihan 2

1.  Titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran $x^2+y^2+6x-4y-12=0$ adalah ...

2.  Titik pusat dan jari-jari lingkaran dari  persamaan lingkaran $x^2+y^2-8x+8y+29=0$ adalah ...

Contoh 3

tentukan persamaan lingkaran dari gambar berikut;

Jawab; 

Titik pusat (a,b) =$(3,-2)$

jari-jari : 3

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$(x-3)^2+(y-(-2))^2=3^2$

$(x-3)^2+(y+2)^2=9$

$(x)^2-2(3)(x)+(-3)^2+(y)^2+2(2)(y)+2^2=9$

$x^2-6x+9+y^2+4y+4=9$

$x^2+y^2-6x+4y+9+4-9=0$

$x^2+y^2-6x+4y+4=0$

jadi persamaan lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+4=0$.

Latihan 3;

Tentukan persamaan lingkaran dari gambar berikut ini.