Persamaan Lingkaran jika diketahui Tiga Titik yang dilaluinya.

Contoh 1;

Titik A (2,2), B(-1,5) dan C(-4,2) merupakan titik yang dilalui lingkaran, tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik tersebut.

Jawab;

Cara 1;

Persamaan lingkaran; $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

*  Subtitusi titik A (2,2) pada persamaan lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ 

    $2^2+2^2+A(2)+B(2)+C=0$

    $4+4+2A+2B+C=0$

    $2A+2B+C+8=0$

    $2A+2B+C=-8$ ....(1)

*  Substitusi titik B (-1,5) pada persamaan lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

    $(-1)^2+5^2+A(-1)+B(5)+C=0$

    $1+25-A+5B+C=0$

    $-A+5B+C+26=0$

    $-A+5B+C=-26$ ....(2)

*  Substitusi titik C (-4,2) pada persamaan lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

    $(-4)^2+(2)^2+A(-4)+B(2)+C=0$

    $16+4-4A+2B+C=0$

    $-4A+2B+C+20=0$

    $-4A+2B+C=-20$ .....(3)

*  Eliminasi C dari (1) dan (2)

    $2A+2B+C=-8$

    $-A+5B+C=-26$    

    ______________    -

    $3A-3B=18$  .....(4)

*  Eliminasi  Cdari (1) dan (3)

    $2A+2B+C=-8$

    $-4A+2B+C=-20$ 

    _______________  -

    $6A=12$

    $A=\frac{12}{6}=2$  ......(5)

*  Substitusi $A=2$ pada (4) 

     $3A-3B=18$ menjadi $3(2)-3B=18$

                                       $6-3B=18$

                                       $-3B=18-6$

                                       $-3B=12$

                                       $B=\frac{12}{-3}=-4$   ...(6)

*  Substitusi $A=2$ dan $B=-4$ pada (1)

    $2A+2B+C=-8$

    $2(2)+2(-4)+C=-8$

    $4-8+C=-8$

    $-4+C=-8$

    $C=-8+4$

    $C=-4$

Jadi persamaan lingkarannya $x^2+y^2+2x-4y-4=0$

Cara 2

Titik A(2,2), B(-1,5) dan C(-4,2) secara grafik seperti berikut;

AC merupakan diameter lingkaran, 

secara grafik titik tengah AC adalah $(-1, 2)$ yang merupakan titik pusat lingkaran $(a, b)=(-1,2)$, berarti $a=-1, b=2$. 

Jarak titik pusat ke A merupakan panjang  jari-jari lingkaran yaitu 3 satuan ($r=3$).

Persamaan lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

                                $(x-(-1))^2+(y-2)^2=3^2$

                                $(x+1)^2+(y-2)^2=9$

                                $x^2+2x+1+y^2-4y+4=9$

                                $x^2+y^2+2x-4y+1+4-9=0$

                                $x^2+y^2+2x-4y-4=0$

Latihan 1;

1.  Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung titik A(0,1), B(2,-1) dan C(2,3).

2.  Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung titik A(3,3), B(1,1) dan C(5,1)