Limit Fungsi Aljabar Mendekati Tak Hingga

Bilganan real ($a$) dibagi dengan nol  $\left(\frac{a}{0}\right)$

    Ditinjau dari Konsep pembagian

     Pembagian merupakan pengurangan secara berulang sehingga menghasilkan nol. seperti;

     $\frac{12}{3}=?$

     

     $12-3-3-3-3=0$ sehingga $\frac{12}{3}=4$ karena terjadi 4 kali kita melakukan pengurangan 3 supaya 12 menjadi 0.

     namun kalau $\frac{1}{0}=?$

     $1-0-0-0-0-0-0-0-....$, artinya 1 tidak akan pernah menjadi  0 kalau dikurangi dengan 0 sebanyak berapa pun, maka $\frac{1}{0}=\text{tak terdefinisi}$

    Ditinjau dari Konsep $\frac{a}{b}=c\text{  maka  }a=b\times c$

     $\frac{1}{0}=a$ dimana $a$ merupakan bilangan real,

    

     maka $1=a\times 0$  artinya berapakah nilai pengganti $a$ jika di kali dengan 0 hasilnya menjadi 1?

  

     karena tidak ada angka yang dikalikan dengan 0 menjadi 1, maka a disebut tidak terdefenisi atau ditulus $\frac{1}{0}=\text{tak terdefinisi}$ 

    Ditinjau dari konsep Limit aljabar

     Contoh salah satu fungsinya berbentuk $y=\frac{1}{x}$, secara grafik dapat digambar sebagai berikut.

      untuk x mendekati 0 dari kiri, berdasarkan grafik di atas, y bernilai $-\infty$ maka ditulis $\underset{x\to0^-}{\text{lim}}\frac{1}{x}=-\infty$

     untuk x mendekati 0 dari kanan, berdasarkan grafik diatas, y bernilai $\infty$ maka ditulis $\underset{x\to0^+}{\text{lim}}\frac{1}{x}=\infty$

     karena hasil limit x mendekati 0 dari kiri tidak sama dengan mendekati 0 dari kanan  maka limit tersebut tidak ada atau ditulis secara matematisnya seperi berikut

     $\underset{x\to0^-}{\text{lim}}\frac{1}{x}\ne\underset{x\to 0^+}{\text{lim}}\frac{1}{x}$ maka $\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{1}{x}$ tidak ada.

Bilangan real $a$ dibagi dengan tak hingga ($\infty$) ditulis $\left(\frac{a}{\infty}\right)$

    Ditinjau dari hasil bagi

     tak hingga ($\infty$) merupakan bilangan real yang nilainya sangat besar, sedangkan negatif tak hingga ($-\infty$) merupakan bilangan real yang nilainya paling kecil

    perhatikan ;

    $\frac{1}{10}=0,1$

    $\frac{1}{100}=0,01$

    $\frac{1}{1000}=0,001$

    $\frac{1}{10000}=0,0001$

    $\frac{1}{100000}=0,00001$

    $\frac{1}{1000000000000000000000000000000}=0,000000000000000000000000000001$

    jadi apakah benar $\frac{1}{\infty}=0$ ?, jawaban tidak, karena bilangan real jika dibagi dengan tak hingga, hasilnya tidak sama dengan nol namun hasilnya mendekati nol.

    Ditinjau dari Konsep Limit Aljabar

     Contoh salah satu fungsinya berbentuk $y=\frac{1}{x}$, secara grafik dapat dilihat seperti berikut.

     untuk x mendekati tak hingga dari kiri, berdasarkan grafik di atas y bernilai 0 maka ditulis $\underset{x\to\infty^-}{\text{lim}}\frac{1}{x}=0$

     untuk x mendekati tak hingga dari kanan, berdasarkan grafik di atas maka ditulis $\underset{x\to\infty^+}{\text{lim}}\frac{1}{x}=0$

     karena nilai x mendekati tak hingga dari kiri dan x mendekati tak hingga kanan untuk fungsi $y=\frac{1}{x}$ bernilai sama, maka limit nya ada dan bernilai 0. secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.

     $\underset{x\to\infty^-}{\text{lim}}\frac{1}{x}=\underset{x\to\infty^+}{\text{lim}}\frac{1}{x}=0$ atau $\underset{x\to\infty}{\text{lim}}\frac{1}{x}=0$ 

Konsep Limit Fungsi Aljabar Mendekati Tak Hingga

     1)  $\underset{x\to\infty}{\text{lim}}\frac{a}{x}=0$, dimana $a$ merupakan bilangan real.

         Contoh 1;

         $\underset{x\to\infty}{\text{lim}}\frac{3}{x}=$ ....

         Jawab;

         $\underset{x\to\infty}{\text{lim}}\frac{3}{x}=0$

         Latihan 1;

         1.  $\underset{x\to\infty}{\text{lim}}\frac{2023}{x}=$...

         2.  $\underset{x\to\infty}{\text{lim}}\frac{2^{2023}}{x^{2023}}=$... 

     2)  $\underset{x\to\infty}{\text{lim}}(f(x)+g(x))=\infty$

          Contoh 2;

     

          Jika $f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}$ dan $g(x)=2x-1$ maka $\underset{x\to\infty}{\text{lim}}(f(x)+g(x))=$ ...

          

          Jawab;

          

         $\underset{x\to\infty}{\text{lim}}\left(\sqrt{x^2-2x+5}+(2x-1)\right)=\left(\sqrt{\infty^2-2(\infty)+5}+(2(\infty)-1)\right)$

                                                 $=\sqrt{\infty}+\infty$

        

                                                 $=\infty$

     3)  $\underset{x\to\infty}{\text{lim}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)$ 

          Langkah Penyelesaiannya;

          -  Lihat derajatt suku yang tertinggi diantara penyebut dan pembilang

          -  Bagi semua penyebut dan pembilang dengan derajat suku tertinggi tersebut;

          -  Substitusi $x\to \infty$ setelah proses pembagian dilakukan.

          Contoh 3;

          Jika $f(x)=5x^3-2x+21$ dan $g(x)=4x^2+2x-1$, maka $\underset{x\to\infty}{\text{lim}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=$...