Teorema Dasar Limit
(1) $\underset{x\to a}{\text{lim}} k=k$, dimana k merupakan konstanta
Contoh;
$\underset{x\to -1}{\text{lim}} 2023=2023$
Latihan 1;
1. $\underset{x\to 2}{\text{lim}} 214=$ ....
2. $\underset{x\to 0}{\text{lim}} 2017=$ ....
(2) $\underset{x\to a}{\text{lim}}x=a$
Contoh 2;
$\underset{x\to -1}{\text{lim}} x=-1$
Latihan 2;
1. $\underset{x\to 3}{\text{lim}} x=$ ...
2. $\underset{x\to 20}{\text{lim}} x=$....
(3) $\underset{x\to a}{\text{lim}} kx=k(a)$, dimana k merupakan koefisien dari x
Contoh 3;
$\underset{x\to -2}{\text{lim}} 3x=3(-2)=-6$
Latihan 3;
1. $\underset{x\to 1}{\text{lim}} -2x=$...
2. $\underset{h\to 5}{\text{lim}} 3h=$...
(4) $\underset{x\to a}{\text{lim}}k.f(x)=k. \underset{x\to a}{\text{lim}} f(x)$
Contoh 4;
Jika $f(x)=3x^2+2x-1$, tentukan $\underset{x\to 2}{\text{lim}}4f(x)=$...
Jawab;
Cara 1
$\underset{x\to 2}{\text{lim}}4f(x)=4\left[\underset{x\to 2}{\text{lim}}f(x)\right]$
$\underset{x\to 2}{4f(x)}=4\left[\underset{x\to 2}{\text{lim}}(3x^2+2x-1)\right]$
$=4\left[\underset{x\to 2}{\text{lim}}3x^2+\underset{x\to 2}{\text{lim}}2x-\underset{x\to 2}{\text{lim}}1\right]$
$=4(3(2)^2+2(2)-1)$
$=4(12+4-1)$
$=4(15)=60$
Cara 2
$\underset{x\to 2}{4f(x)}=4\left[\underset{x\to 2}{\text{lim}}f(x)\right]$
$=4\left[\underset{x\to 2}{\text{lim}}(3x^2+2x-1)\right]$
$=4(3(2)^2+2(2)-1)$
$=4(12+4-1)$
$=4(15)=60$
Latihan 4;
1. Jika $f(x)=2x^2-3$, tentukan $\underset{x\to 1}{\text{lim}} 3f(x)=$...
2. Jika $f(x)=x^2-3x+1$, tentukan $\underset{x\to 0}{\text{lim}}2f(x)=$....
(5) $\underset{x\to a}{\text{lim}}\text{ [f(x)\pm g(x)]}=\underset{x\to a}{\text{lim}} \text{ f(x)} \pm \underset{x\to a}{\text{lim}} \text{ g(x)}$
Contoh 5;
Diketahui $f(x)=x^2-2x+1$ dan $g(x)=3x-2$, tentukan $\underset{x\to 2}{\text{lim}}[f(x)-g(x)]=$...
Jawab;
$\underset{x\to 2}{\text{lim}}[(x^2-2x+1)-(3x-2)]=\underset{x\to 2}{\text{lim}}(x^2-2x+1)-\underset{x\to 2}{\text{lim}}(3x-2)$
$=(2^2-2(2)+1)-(3(2)-2)$
$=(4-4+1)-(6-2)=(1)-(4)=-3$
Latihan 5
1. Diketahui $f(x)=x^2-3x+5$ dan $g(x)=2x+7$, tentukan $\underset{x\to 1}{\text{lim}} [f(x)+g(x)]=$...
2. Diketahui $f(x)=x-5$ dan $g(x)=3x^2-27$, tentukan $\underset{x\to -2}{\text{lim}}[f(x)-g(x)]=$...
(6) $\underset{x\to a}{\text{lim}}[f(x).g(x)]=\underset{x\to a}{\text{lim}} f(x) \times \underset{x\to a}{\text{lim}} g(x)$
Contoh 6;
Diketahui $f(x)=-2x+3$ dan $g(x)=x^2-4x+3$, tentukan $\underset{x\to -3}{\text{lim}}[f(x).g(x)]=$...
Jawab;
$\underset{x\to -3}{\text{lim}} [f(x).g(x)]=\underset{x\to -3}{\text{lim}}[(-2x+3)(x^2-4x+3)]$
$=\underset{x\to -3}{\text{lim}}(-2x+3)\times \underset{x\to -3}{\text{lim}}(x^2-4x+3)$
$=(-2(-3)+3)\times((-3)^2-4(-3)+3)$
$=(6+3)\times(9+12+3)$
$=(9)\times (24)=216$
Latihan 6;
1. Diketahui $f(x)=2x^2-3x+1$ dan $g(x)=3x+2$, tentukan $\underset{x\to 1}{\text{lim}}[f(x).g(x)]=$...
2. Diketahui $f(x)=x^2+2x+1$ dan $g(x)=x^2-4x+3$, tentukan $\underset{x\to 2}{\text{lim}}[f(x).g(x)]=$...
(7) $\underset{x\to a}{\text{lim}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\text{lim}} f(x)}{\underset{x\to a}{\text{lim}}g(x)}$, dimana $\underset{x\to a}{\text{lim}}g(x)\ne 0$.
Penting; Perhitungan limit tidak diperbolehkan menghasilkan $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, jika dengan cara substitusi memperoleh $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ maka;
a. Persoalan tidak berbentuk akar, langkah penyelesaiannya dengan cara;
- faktorkan
- coret/bagi bentuk yang sama atau yang sama antara pembilang dengan penyebut.
- substitusi $x\to a$ pada hasil coret/ bagi tadi.
Contoh 7;
$\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{x^2-x-6}{x-3}=$...
Jawab;
$\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{x^2-x-6}{x-3}=\frac{\underset{x\to -3}{\text{lim}}(x^2-x-6)}{\underset{x\to 3}{\text{lim}}(x-3)}$
$=\frac{(3)^2-(3)-6}{3-3}=\frac{9-3-6}{0}=\frac{0}{0}$
INGAT; hasil dari limit tidak boleh $\frac{0}{0}$, karena persoalan tidak menggunakan akar, maka langkah penyelesaiannya yaitu;
- faktorkan;
$\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{x^2-x-6}{x-3}=\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}$
- Coret/bagi faktor yang sama antara bagian atas dengan bagian bawah;
$=\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\text{lim}}(x+2)$
- Substitusi $x\to 3$ pada hasil coret/bagi tadi.
$=\underset{x\to 3}{\text{lim}}(x+2)=3+2=5$
Penulisan secara langsung;
$\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{x^2-x-6}{x-3}=\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}$
$=\underset{x\to 3}{\text{lim}}(x+2)$
$=3+2=5$
Latihan 7;
1. $\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{x^2+4x+2}{x^2+2x-6}=$ ...
2. $\underset{x\to -3}{\text{lim}}\frac{x^2+5x+6}{2x+6}=$...
3. $\underset{x\to -1}{\text{lim}}\frac{x^2+6x+5}{x^2+4x+3}=$...
4. $\underset{h\to 1}{\text{lim}}\frac{2h^2+8h-10}{3h-3}=$...
b. Persoalan berbentuk akar, langkah penyelesaiannya dengan cara;
- Kali dengan akar sekawan
- coret/bagi bentuk yang sama atau yang sama antara pembilang dengan penyebut.
- substitusi $x\to a$ pada hasil coret/ bagi tadi.
Contoh 8;
If $h(x)=\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$, find $\underset{x\to 0}{\text{lim}} h(x)=$...
Jawab;
Menggunakan metode substitusi
$\underset{x\to 0}{\text{lim}} h(x)=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$
$=\frac{\sqrt{0+9}-3}{0}$
$=\frac{\sqrt{9}-3}{0}$
$=\frac{3-3}{0}$
$=\frac{0}{0}$ (ingat hasil dari limit tidak boleh $\frac{0}{0}$)
Menggunakan metode subtitusi langsung, hasil limitnya $\frac{0}{0}$ dan persoalan berbentuk akar, langkah penyelesaiannya.
- Kali dengan akar sekawan
$\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}\times \frac{\sqrt{x+9}+3}{\sqrt{x+9}+3}$
$=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{(\sqrt{x+9})^2-(3)^2}{(x)(\sqrt{x+9}+3)}$
$=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{(x+9)-9}{(x)(\sqrt{x+9}+3)}$
$=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{x}{(x)(\sqrt{x+9}+3)}$
- coret/bagi bentuk yang sama atau yang sama antara pembilang dengan penyebut.
$\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{x}{(x)(\sqrt{x+9}+3}=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}$
- Substitusi $x\to a$ pada hasil coret/ bagi tadi.
$\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}=\frac{1}{\sqrt{0+9}+3}$
$=\frac{1}{\sqrt{9}+3}$
$=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}$
So $\underset{x\to 0}{\text{lim}}h(x)=\frac{1}{6}$
Penulisan jawaban secara langsung;
$\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}\times \frac{\sqrt{x+9}+3}{\sqrt{x+9}+3}$
$=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{(x+9)-9}{(x)(\sqrt{x+9}+3)}$
$=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{x}{(x)(\sqrt{x+9}+3)}$
$=\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}$
$=\frac{1}{\sqrt{0+9}+3}$
$=\frac{1}{\sqrt{9}+3}$
$=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}$
So $\underset{x\to 0}{\text{lim}}h(x)=\frac{1}{6}$
Latihan 8;
1. If $f(x)=\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$, find $\underset{x\to 4}{\text{lim}} f(x)=$...
2. If $h(x)=\frac{2-\sqrt{6-x}}{4-2x}$,find $\underset{x\to 2}{\text{lim}}h(x)=$...
Contoh 9;
$\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt[3]{h+1}-1}{h}=$...
Jawab;
Konsep yang harus dipahami dalam merasionalkan akar pangkat tiga yaitu;
(1) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
(2) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt[3]{h+1}-1}{h}=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{(h+1)^{\frac{1}{3}}-(1)^\frac{1}{3}}{h}$
$\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{\left[(h+1)^\frac{1}{3}-1\right]\left[(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}+1\right]}{h\left[(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}+1\right]}$
$\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{(h+1)^\frac{1}{3}\left[(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}+1\right]-\left[(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}+1\right]}{h\left[(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}+1\right]}$
$\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{\left[(h+1)^\frac{1}{3}(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}(h+1)^\frac{1}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}\right]-\left[(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}+1\right]}{h\left[(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}+1\right]}$
$\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{\left[(h+1)^\frac{3}{3}+(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}\right]-\left[(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}+1\right]}{h\left[(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}+1\right]}$
$\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{(h+1)+(h+1)^\frac{2}{3}-(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}-(h+1)^\frac{1}{3}-1}{h\left[(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}+1\right]}$
$\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{h}{h\left[(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}+1\right]}$
$\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{1}{(h+1)^\frac{2}{3}+(h+1)^\frac{1}{3}+1}$
$=\frac{1}{(0+1)^\frac{2}{3}+(0+1)^\frac{1}{3}+1}$
$=\frac{1}{(1)^\frac{2}{3}+(1)^\frac{1}{3}+1}$
$=\frac{1}{1+1+1}$
$=\frac{1}{3}$
Latihan 9;
1. $\underset{t\to 0}{\text{lim}}\frac{(\sqrt[3]{8-t}-2}{t}=$...
2. $\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x+7}-2}=$...
3. $\underset{x\to 64}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x}-8}{\sqrt[3]{x}-4}=$...
Contoh 10;
$\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{x^2-9}{(x+1)-\sqrt{10+2x}}=$...
Jawab;
$\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{x^2-9}{(x+1)-\sqrt{10+2x}}=\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{x^2-9}{(x+1)-\sqrt{10+2x}}\times \frac{(x+1)+\sqrt{10+2x}}{(x+1)+\sqrt{10+2x}}$
$=\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{\left[x^2-9\right]\left[(x+1)+\sqrt{10+2x}\right]}{(x+1)(x+1)-(\sqrt{10+2x})(\sqrt{10+2x})}$
$=\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{\left[x^2-9\right]\left[(x+1)+\sqrt{10+2x}\right]}{(x^2+2x+1)-(10+2x)}$
$=\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{(x^2-9)\left[(x+1)+\sqrt{10+2x}\right]}{x^2-9}$
$=\underset{x\to 3}{\text{lim}}[(x+1)+\sqrt{10+2x}]$
$=(3+1)+\sqrt{10+2(3)}$
$=4+\sqrt{16}$
$=4+4=8$ (untuk $\sqrt{16}=4$)
$=4+(-4)=0$ (untuk $\sqrt{16}=-4$)
Latihan 10;
1. $\underset{x\to 5}{\text{lim}}\frac{x^2-25}{\sqrt{x^2+24}-7}=$...
2. $\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x+1})(x-1)}=$...
3. Nilai dari $\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{3-\sqrt{x+7}}{x^2+x-6}=$...
c. Persoalan berbentuk gabungan akar dan kuadrat, langkah penyelesaiannya dengan cara;
- Kali dengan akar sekawan
- Faktorkan persamaan kuadratnya
- coret/bagi faktor yang sama antara pembilang dengan penyebut.
- substitusi $x\to a$ pada hasil coret/ bagi tadi.
Contoh 11;
$\underset{x\to3}{\text{lim}}\frac{\sqrt{2x+3}-3}{x^2-9}=$...
Jawab;
$\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{\sqrt{2x+3}-3}{x^2-9}=\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{\sqrt{2x+3}-3}{x^2-9}\times\frac{\sqrt{2x+3}+3}{\sqrt{2x+3}+3}$ (kali akar sekawan)
$=\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{(2x+3)-9}{(x^2-9)(\sqrt{2x+3}+3)}$
$=\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{2x-6}{(x-3)(x+3)(\sqrt{2x+3}+3)}$ (faktorkan}
$=\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)(\sqrt{2x+3}+3)}$ (bagi faktor yang sama, menjadi)
$=\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{2}{(x+3)(\sqrt{2x+3}+3)}$
$=\frac{2}{(2+3)(\sqrt{2(3)+3}+3)}$ (substitusi $x=3$)
$=\frac{2}{(5)(\sqrt{9}+3)}$
$=\frac{2}{5(3+3)}$
$=\frac{2}{5(6)}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$
Latihan 11;
1. $\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{x^2-5x+6}{4-\sqrt{4x+8}}=$ ...
2. $\underset{x\to -1}{\text{lim}}\frac{\sqrt{3x+4}+1}{x^2-4x-5}=$...
(8) $\underset{x\to a}{\text{lim}}(f(x))^n=\left[\underset{x\to a}{\text{lim}} f(x)\right]^n$.
Contoh 12;
Jika $f(x)=\sqrt{x^2-4x+2}$, maka nilai dari $\underset{x\to 2}{\text{lim}}(f(x))^6=$...
Jawab;
$\underset{x\to 2}{\text{lim}}\left(\sqrt{x^2-4x+2}\right)^6=\underset{x\to 2}{\text{lim}}\left[(x^2-4x+2)^\frac{1}{2}\right]^6$
$=\underset{x\to 2}{\text{lim}}\left[x^2-4x+2\right]^\frac{6}{2}$
$=\underset{x\to 2}{\text{lim}}\left[x^2-4x+2\right]^3$
$=\left[\underset{x\to 2}{\text{lim}}x^2-4x+2\right]^3$
$=\left[(2)^2-4(2)+2\right]^3$
$=\left[4-8+2\right]^3$
$=[-2]^3$
$=-8$
Latihan 12;
1. Diberikan $f(x)=3x^2+12x+8$, maka nilai dari $\underset{x\to -1}{\text{lim}}(f(x))^{2023}=$ ...
2. Diberikan $f(x)=\sqrt{x^2-2x+6}$, maka digit terakhit dari $\underset{x\to 3}{\text{lim}}(f(x))^{2022}$ adalah ...
Daftar Pustaka;
Sukino. Matematika Jilid 2B untik SMA/MA Kelas XI Semester 2 Kelompok Wajib: Erlangga, Jakarta, 2017.
Comments
Post a Comment