Persamaan Kuadrat

 A.  Bentuk Umum Persamaan Kuadrat.

       Persamaan kuadrat merupakan persamaan menggunakan sama dengan dan variabel tertinggi harus berpangkat dua. seperti berikut;

$ax^2+bx+c=0$, 

dimana;  $a\neq 0$ dan $a$ merupakan koefisien dari $x^2$

               $b$ meruppakan koefisien dari $x$

               $c$ merupakan konstanta.

Contoh 1; 

Manakah diantara persamaan berikut yang merupakan persamaan kuadrat?

(1)   $x^2-3x+5=0$

(2)   $x+7=0$

(3)   $x^2-2x=0$

(4)   $y^2+9=0$

Jawab;

(1)  $x^2-3x+5=0$ karena variabel tertingginya berpangkat dua dan menggunakan tanda sama dengan maka persamaan (1) merupakan persamaan kuadrat.

(2)  $x+7=0$ kerana variabel tertingginya berpangkat satu maka persamaan (2) bukan merupakan persamaan kuadrat.

(3)   $x^2-2x=0$ kerena variabel tertinggi berpangkat dua dan menggunakan tanda sama dengan maka persamaan (3) merupakan persamaan kuadrat.

(4)  $y^2+9=0$ karena variabel tertingginya berpangat dua dan menggunakan tanda sama dengan maka persamaan (4) merupakan persamaan kuadrat.

Latihan 1

Manakah diantara persamaan berikut yang merupakan persamaan kuadrat?

(1)   $3x+2=0$

(2)   $2x^2-x-1=0$

(3)   $y^2-4=0$

Contoh 2;

Jika persamaan kuadrat umumnya berbentuk $ax^2+bx+c=0$, tentukan nilai $a, b, c$ dari persamaan kuadrat berikut;

(1)   $x^2-4x+4=0$

(2)   $2x^2+6x=0$

(3)   $-x^2+16=0$

Jawab;

(1)   $x^2-4x+4$ maka $a=1$, $b=-4$, dan $c=0$

(2)   $2x^2+6x=0$ bentuk lengkapnya yaitu $2x^2+6x+0=0$ maka $a=2$, $b=6$ dan $c=0$

(3)   $-x^2+16=0$ bentuk lengkapnya yaitu $-x^2+0x+16=0$ maka $a=-1$, $b=0$ dan $c=16$

Latihan 2;

Jika persamaan kuadrat umumnya berbentuk $ax^2+bx+c=0$, tentukan nilai $a, b, c$ dari persamaan kuadrat berikut;

(1)   $x^2-25=0$

(2)   $3x^2-2x+1=0$

(3)   $-x^2+3x=0$.

B.  Nilai Deskriminan pada persamaan kuadrat;

      Deskriminan dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ disimbolkan dengan D, rumusnya; $D=b^2-4ac$. Nilai deskrimanan digunakan untuk menentukan apakah fungsi dari persamaan kuadrat tersebut memiliki titik potong dengan sumbu x. ada  kemungkinan antara sumbu x dengan grafik fungsi kuadrat dari persamaan kuadrat tersebut.

      1.  Nilai $D<0$

           Grafik titik memotong dan tidak menyinggung sumbu x dengan bahasa lain tidak memiliki akar-akar real atau memiliki akar-akar imajinear. 

     2.  Nilai $D=0$

          Grafik menyinggung sumbu x di satu titik, dengan bahasa lain memiliki akar-akar real dan akar-akar sama(kembar).

     3.  Nilai $D>0$

          Grafik memotong sumbu x di dua titik yang berlainan, dengan bahasa lain memiliki akar-akar real dan berlainan atau nilai akar-akarnya tidak sama.

     4.  Nilai $D\geq 0$

          Grafik menyinggung atau memotong sumbu x, dengan bahasa lain memiliki akar-akar yang real.

      

      Catatan; maksud nilai akar-akar adalah nilai x (absis) yang disinggung atau dipotong oleh grafik fungsi dari persamaan kuadrat tersebut.  

Contoh 3;

Telusurilah apakah persamaan kuadrat $x^2-2x+7=0$ memiliki akar-akar real atau tidak.

Jawab;

$a=1, b=-2, c=7$

$D=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(7)$

$D=4-28$

$D=-24<0$

Karena nilai Deskriminannya (D<0) maka persamaan kuadrat $x^2-2x+7$ tidak memiliki akar-akar real     atau tidak menyinggung dan tidak memotong sumbu x.

Latihan 3   

1.  Telusurilah apakah persamaan kuadrat $x^2-3x+2=0$ memiliki akar-akar real atau tidak. 

2.  Telusurilah apakah persamaan kuadrat $2x^2-4x+2=0$ menyinggung sumbu x atau memotong sumbu x atau tidak sama seklai.

Contoh 4;

Diketahui persamaan kuadrat $x^2-\sqrt{3}px+3=0$ menyinggung sumbu x, tentukan nilai p.

Jawab;

$x^2-\sqrt{3}px-3=0$ berarti $a=1, b=-\sqrt{3}p, c=3$

jika persamaan kuadrat menyinggung sumbu $x$, maka nilai deskriminan $D=0$

$D=b^2-4ac=0$

$(-\sqrt{3}p)^2-4(1)(3)=0$ 

$3p^2-12=0$

$3p^2=12$

$p^2=\frac{12}{3}$

$p^2=4$

$p=\sqrt{4}$

$p=\pm 2$

Latihan 4     

Diketahui persamaan kuadrat $x^2-2px+9=0$ menyinggung sumbu x, tentukan nilai p.

Contoh 5;

Persamaan kuadrat $px^2-2px-3=0$ tidak memiliki akar-akar real, maka nilai p adalah ...

Jawab;

$px^2-2px-3=0$  maka $a=p, b=-2p, c=-3$

Tidak memiliki akar-akar real berarti $D<0$

$D=b^2-4ac<0$

$(-2p)^2-4(p)(-3)<0$

$4p^2+12p<0$

$4p(p+3)<0$

$4p=0 \text{ atau }p+3=0$

$p=\frac{0}{4}=0\text{  atau  }p=-3$

gunakan uji coba salah satu angka antara 0 dan $-3$ yaitu $-1$

$4p(p+3)<0$ maka $4(-1)(-1+3)=(-4)(2)=-8<0$ benar, berarti p berada antara 0 dan $-3$ ditulis $-3<p<0$

Latihan 5

 1.  Persamaan kuadrat $2px^2+px-3=0$ tidak memiliki akar-akar real, maka nilai p adalah...

 2.  Persamaan kuadrat $x^2-3x+p=0$ memiliki akar-akar real dan berlainan. nilai p adalah ....

C.  Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

      Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$, maka berlaku;

      *   $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

      *   $x_1.x_2=\frac{c}{a}$

      *   $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=\left(-\frac{b}{a}\right)-2\frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2ac}{a^2}=\frac{b^2-2ac}{a^2}$

      *  $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c}$

      *  $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1.x_2)^2}=\frac{\frac{b^2-2ac}{a^2}}{\left(\frac{c}{a}\right)^2}=\frac{\frac{b^2-2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}}=\frac{b^2-2ac}{c^2}$

Contoh 6;

1.  Persamaan kuadrat $x^2+6x-7=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, tentukanlah;

      a.  $\alpha +\beta=$

      b.  $\alpha . \beta=$

      c.  $\alpha^2+\beta^2=$

      d.  $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=$

      e.  $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=$

      Jawab;

      $x^2+6x-7=0$ berarti $a=1, b=6 , c=-7$

      a.  $\alpha +\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{6}{1}=-6$

      b.  $\alpha . \beta=\frac{c}{a}=\frac{-7}{1}=-7$

      c.  $\alpha^2+\beta^2=\frac{b^2-2ac}{a^2}=\frac{6^2-2(1)(-7)}{1^2}=36+14=50$

      d.  $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-\frac{b}{c}=-\frac{6}{-7}=\frac{6}{7}$

      e.  $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=\frac{b^2-2ac}{c^2}=\frac{6^2-2(1)(-7)}{(-7)^2}=\frac{36+14}{49}=\frac{50}{49}$

      

2.  Persamaan kuadrat $2x^2-3x+4=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, tentukanlah;

      a.  $\alpha +\beta=$

      b.  $\alpha . \beta=$

      c.  $\alpha^2+\beta^2=$

      d.  $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=$

      e.  $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=$

      Jawab

      $2x^2-3x+4=0$ berarti $a=2, b=-3, c=4$

      a.  $\alpha +\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$

      b.  $\alpha . \beta=\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2$

      c.  $\alpha^2+\beta^2=\frac{b^2-2ac}{a^2}=\frac{(-3)^2-2(2)(4)}{2^2}=\frac{9-16}{4}=\frac{-7}{4}$

      d.  $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-\frac{b}{c}=-\frac{-3}{4}=\frac{3}{4}$

      e.  $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=\frac{b^2-2ac}{c^2}=\frac{(-3)^2-2(2)(4)}{(4)^2}=\frac{9-16}{16}=\frac{-7}{16}=-\frac{7}{16}$

 Latihan 6

1.  Persamaan kuadrat $x^2+px-q=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$,($p=$nomor absen, dan$q=$jumlah saudara). tentukanlah;

a.  $\alpha +\beta=$

b.  $\alpha . \beta=$

c.  $\alpha^2+\beta^2=$

d.  $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=$

e.  $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=$

2.  Persamaan kuadrat $ax^2+bx-c=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$,($a=$jumlah saudara, $b=$bulan lahir kamu, $c=$ bulan lahir ibu). tentukanlah;

a.  $\alpha +\beta=$

b.  $\alpha . \beta=$

c.  $\alpha^2+\beta^2=$ 

d.  $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=$

e.  $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=$