Perbandingan Trigonometri

 Perbandingan trigonometri dalam Bentuk Sudut

Nilai Istimewa

Gambar di bawah menunjukkan nilai dari sudut istimewa yang diwakili oleh setiap jari tangan kita.

jari kelingking bernilai 0

jari manis bernilai $\frac{1}{2}$

jari tengah bernilai $\frac{1}{2}\sqrt{2}$

jari telunjuk bernilai $\frac{1}{2}\sqrt{3}$

jari jempol bernilai $1$

 seperti gambar berikut ini.

Sumber gambar : rumahpopuler.com dan telah dimodifikasi oleh bimbelkici.com

Sudut Istimewa

Sudut istimewa dibagi menjadi 4 bagian yaitu

Bagian 1    :  $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ 

                     $0^\circ$ dan $30^\circ$ memiliki beda/ selisih $30^\circ-0^\circ=30^\circ$

                     $30^\circ$ dan $45^\circ$ memiliki beda/ selisih $45^\circ-30^\circ=15^\circ$

                     $45^\circ$ dan $60^\circ$ memiliki beda/selisih $60^\circ-45^\circ=15^\circ$

                     $60^\circ$ dan $90^\circ$ memiliki beda/ selisih $90^\circ-60^\circ=30^\circ$

 sehingga untuk bagian kedua memiliki pola yang sama dengan bagian 1 yaitu $+30, +15, +15, +30$

Bagian 2    :  

                    $90^\circ+30^\circ=120^\circ$

                    $120^\circ+15^\circ=135^\circ$

                    $135^\circ+15^\circ=150^\circ$

                    $150^\circ+30^\circ=180^\circ$

                    jadi sudut istimewa bagian 2 yaitu $120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ$

Bagian 3    :  

                    $180^\circ+30^\circ=210^\circ$

                    $210^\circ+15^\circ=225^\circ$

                    $225^\circ+15^\circ=240^\circ$

                    $240^\circ+30^\circ=270^\circ$

                    Jadi sudut istimewa bagian 3 yaitu $210^\circ, 225^\circ, 240^\circ, 270^\circ$

Bagian 4    :  

                    $270^\circ+30^\circ=300^\circ$

                    $300^\circ+15^\circ=315^\circ$

                    $315^\circ+15^\circ=330^\circ$

                    $330^\circ+30^\circ=360^\circ$

                    Jadi sudut istimewa bagian 4 yaitu $300^\circ, 315^\circ, 330^\circ, 360^\circ$

Nilai Sinus Sudut Istimewa

Bagian 1;

            $\text{sin}0^\circ=0$  (Kelingking)

            $\text{sin}30^\circ=\frac{1}{2}$   (jari manis)

            $\text{sin} 45^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2}$  (jari tengah)

            $\text{sin} 60^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{3}$ (jari telunjuk)

            $\text{sin} 90^\circ=1$  (jempol)

           

Bagian 2

            $\text{sin}120^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

            $\text{sin} 135^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

            $\text{sin}150^\circ=\frac{1}{2}$

            $\text{sin}180^\circ=1$

Bagian 3

            $\text{sin} 210^\circ=-\frac{1}{2}$

            $\text{sin}225^\circ=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$

            $\text{sin} 240^\circ=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

            $\text{sin} 270^\circ=-1$

Bagian 4

             $\text{sin} 300=-\frac{1}{2}$

             $\text{sin} 315=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$

             $\text{sin} 330=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

             $\text{sin} 360=-1$

Contoh 1;

Tentukan nilai dari $\text{sin}30^\circ+\text{sin}150^\circ+\text{sin}240^\circ=$ ...

Jawab;

kita tahu bahwa $\text{sin} 30^\circ=\frac{1}{2}$, $\text{sin} 150^\circ=\frac{1}{2}$ dan $\text{sin} 240^\circ=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

sehingga;

$\text{sin}30^\circ+\text{sin}150^\circ+\text{sin}240^\circ=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)$

                                                     $=1-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Latihan 1

1.  Tentukan nilai dari $\text{sin} 60^\circ+\text{sin} 120^\circ+\text{sin} 90^\circ=$ ...

2.  Tentukan nilai dari $\text{sin} 45^\circ+\text{sin}225^\circ+\text{sin}90^\circ=$...

Contoh 2

Nesal ingin membentangkan tali dari puncak menara Hantahbarantah, dia mengetahui ketinggian menara 50 meter, dan sudut yang dibentuk dari tanah dengan tali menara sebesar $30^\circ$. berapakah panjang tali yang diperlukan Nesal pada permasalahan ini.

Jawab;

permasalahan di atas digambarkan seperti berikut;

$\text{sin  } \beta=\frac{\text{depan }\beta}{\text{miring}}$

$\text{sin}30^\circ=\frac{50\text{ meter}}{\text{panjang tali}}$

$\frac{1}{2}=\frac{50\text{ meter}}{\text{panjang tali}}$

$\text{panjang tali}=50\text{ meter}\times 2$

$\text{panjang tali}=100 \text{ meter}$

jadi panjang tali $100$ meter.

Latihan 2;

1.  Amirul ingin membentangkan tali dari puncak menara Alahom, dia mengetahui ketinggian menara 100 meter, dan sudut yang dibentuk dari tanah dengan ujung menara sebesar $60^\circ$. berapakah panjang tali yang diperlukan Amirul pada permasalahan ini.

2.  Sandra ingin menyeberangi sungai dengan cara berenang, lebar sungai tersebut 4 meter, Ia melawan arus dan terbentuklah sudut $45^\circ$ sampai diseberang sungai. berapakah panjang lintasan renang yang telah dileweatinya.

Nilai Cosinus Sudut Istimewa

Bagian 1;

             $\text{cos}0^\circ=1$  (Jempol)

             $\text{cos}30^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{3}$  (Telunjuk)

             $\text{cos} 45^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2}$  (Jari tengah)

             $\text{cos}60^\circ=\frac{1}{2}$   (Jari manis)

             $\text{cos} 90^\circ=0$  (Jari Kelingking)

Bagian 2;

              Cosinus bernilai negatif pada bagian 2 (kuadran 2)

              $\text{cos}120^\circ=-\frac{1}{2}$  (jari manis)

              $\text{cos}135^\circ=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ (jari tengah)

              $\text{cos}150^\circ=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$   (jari telunjuk)

              $\text{cos}180^\circ=-1$  (jari jempol)

Bagian 3;

              Cosinus bernilai negatif pada bagian 3 (kuadran 3)

              $\text{cos}210^\circ=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$  (jari telunjuk)

              $\text{cos}225^\circ=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$   (jari tengah)

              $\text{cos}240^\circ=-\frac{1}{2}$  (Jari manis)

              $\text{cos}270^\circ=0$   (Jari kelingking)

Bagian 4;

              Cosinus bernilai positif pada bagian 4 (kuadran 4)

              $\text{cos}300^\circ=\frac{1}{2}$  (Jari manis)

              $\text{cos}315^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2}$  (Jari tengah)

              $\text{cos}330^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{3}$  (Jari telunjuk)

              $\text{cos}360^\circ=1$  (Jari jempol)

Contoh  3;

Tentukan nilai dari $\text{cos}30^\circ+\text{cos}150^\circ-\text{cos}60^\circ=$ ...

Jawab;

$\text{cos}30^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\text{cos}150^\circ=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\text{cos}60^\circ=\frac{1}{2}$

$\text{cos}30^\circ+\text{cos}150^\circ-\text{cos}60^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{3}+\left(-\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)-\frac{1}{2}$

                                                                 $=\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}=-\frac{1}{2}$

jadi nilai $\text{cos}30^\circ+\text{cos}150^\circ-\text{cos}60^\circ=-\frac{1}{2}}$

Latihan 3;

1.  Tentukan nilai dari $\text{cos} 45^\circ-\text{cos} 225^\circ-\text{cos} 120^\circ=$ ...

2.  Tentukan nilai dari $\text{cos} 330^\circ+\text{cos}240^\circ+\text{sin}30^\circ=$... 

Contoh 4;

Andi ingin menyebrang sungai, jarak di berdiri dengan tepi sungai seberang adalah 3 meter, karena arus sungai, sudut yang di bentuk untuk mencapai seberang sungai yaitu $30^0$, seperti pada gambar dibawah ini.

Berapa panjang lintasan yang ditempuh Andi untuk menyeberangi sungai?

Jawab;

$\frac{\text{samping}}{\text{miring}}=cos 30^0$

$\frac{3}{\text{miring}}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$(3)(2)=\sqrt{3}\text{miring}$

$\text{miring}\sqrt{3}=6$

$\text{miring}=\frac{6}{\sqrt{3}}$

$\text{miring}=\frac{6}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\text{miring}=\frac{6\times\sqrt{3}}{3}$

$\text{miring}=2\sqrt{3}$

jadi panjang lintasannya $2\sqrt{3}$

Latihan 4;

1)  Bayu berdiri di depan Menara Alahom, jarak dia dengan menara sekitar 9 meter, Bayu menggunakan laser sudut, alat tersebut diletakkannya pada dasar pijakannya dan diarahkan pada ujung menara, sudut yang terbentuk adalah $60^0$. berapakah panjang tali yang dibutuhkan untuk menghubungkan ujung menara dengan pijakan Bayu.

2)  Andi ingin menyebrang sungai, jarak di berdiri dengan tepi sungai seberang adalah 4 meter, karena arus sungai, sudut yang di bentuk untuk mencapai seberang sungai yaitu $60^0$, seperti pada gambar dibawah ini.