Persamaan Garis Singgung Lingkaran

 A.  Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui satu titik pada lingkaran.

        

         Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada lingkaran yang berbentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

         dimana;  $(a,b)$ merupakan  pusat lingkaran dan $(x_1,y_1)$  merupakan titik yang dilalui oleh garis tersebut.

         Contoh 1;

         Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(2,3)$ dan menyinggung lingkaran $(x-4)^2+(y-2)^2=5$ adalah...

         

         Jawab;

         $(a,b)=(4,2)$

         $(x_1, y_1)=(2,3)$

         persamaan garis singgung lingkaran adalah $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

         $(2-4)(x-4)+(3-2)(y-2)=5$

         $(-2)(x-4)+(1)(y-2)=5$

         $-2x+8+y-2=5$

         $-2x+y+6=5$

         $-2x+y=5-6$

         $-2x+y=-1$ dikali dengan $(-1)$ menjadi

         $2x-y=1$

         jadi persamaan garis singgungnya adalah $2x-y=1$

         Latihan 1;

         1.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(2,4)$ dan menyinggung lingkaran  $(x-4)^2+(y-2)^2=8$.

         2.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(5,4)$ dan menyinggung lingkaran $(x-3)^2+(y-1)^2=13$

        Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik $(x_1,y_1)$ dan menyinggung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $x_1x+y_1y+A\left(\frac{x+x_1}{2}\right)+B\left(\frac{y+y_1}{2}\right)+C=0$

         dimana $(x_1,y_1)$ titik yang dilalui persamaan garis singgung lingkaran 

         Contoh;

         Tentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik $(5,2)$ dan menyinggung lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-6x-2y+5=0$ adalah ...

         Jawab;

         Persamaan garis singgungnya $x_1x+y_1y+A\left(\frac{x+x_1}{2}\right)+B\left(\frac{y+y_1}{2}\right)+C=0$

         $5x+2y-6\left(\frac{x+5}{2}\right)+-2\left(\frac{y+2}{2}\right)+5=0$

         $5x+2y-3(x+5)-(y+2)+5=0$

         $5x+2y-3x-15-y-2+5=0$

         $5x-3x+2y-y-15-2+5=0$

         $2x+y-12=0$

         $2x+y=12$

        

         Latihan 2;

         1.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik $(4,-1)$ dan menyinggung lingkaran dengan persamaan  $x^2+y^2-4x-2y-3=0$

        2.  Tentukan persamaan garis singgung lingakaran melalui titik $(2,-1)$ dan menyinggung lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-2x-1=0$

Persamaan Garis Singgung lingkaran jika diketahui gradien garisnya ($m$) adalah $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}$ dimana (a,b) merupakan pusat lingkaran dan r jari-jari lingkaran.

         Contoh 3;

         Tentukan persamaan garis singgung lingkaran bergradien 1 menyinggung lingkaran  $(x-2)^2+y^2=2$ adalah ...

        Jawab;

        lingkaran $(x-2)^2+y^2=2$ memiliki pusat $(2,0)$ dan berjari -jari $\sqrt{2}$.

        gradien garis : $m=1$

        Persamaan garis singgung lingkaran $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}$

        $y-0=1(x-2)\pm \sqrt{2}\sqrt{(1)^2+1}$

        $y=x-2\pm \sqrt{2}\sqrt{1+1}$

        $y=x-2\pm \sqrt{4}$

        $y=x-2\pm 2$

        $y_1=x-2+2$    atau $y_2=x-2-2$

       $y_1=x$                atau $y_2=x-4$

       jadi persamaan garis singgung pertama $y=x$ atau $x-y=0$, persamaan garis singgung kedua $y=x-4$ atau $x-y=4$

         Latihan 3;

         1.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran bergradien $3$ menyinggung lingkaran $(x-4)^2+(y+2)^2=40$...

         2.   Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$ dengan gradien $-2$....

        Contoh 4;

        Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x-4y-5=0$ yang tegak lurus dengan garis $x+3y=7$ adalah ...

        Jawab;

        $x^2+y^2-2x-4y-5=0$ 

        Pusat $(a,b)$ adalah $\left(\frac{-A}{2},\frac{-B}{2}\right)=\left(\frac{-(-2)}{2},\frac{-(-4)}{2}\right)=(1,2)$

        Jari-jari $r=\sqrt{a^2+b^2-C}=\sqrt{(1)^2+(2)^2-(-5)}=\sqrt{1+4+5}=\sqrt{10}$

       Gradien garis

       $x+3y=7$

       $3y=-x+7$

       $y=\frac{-1}{3}x+\frac{7}{3}$  koefisien pada $x$ merupakan gradien garis, ketika persamaan garis berbentuk $y=mx+c$

       $m_{\text{garis}}=\frac{-1}{3}$

       Jika garis saling tegak lurus, maka $m_{\text{garis singgung}}=\frac{-1}{m_{\text{garis}}}$

       $m_{\text{garis}}=\frac{-1}{\frac{-1}{3}}=-1\times \frac{3}{-1}=3$

       persamaan garis singgung lingkaran 

       $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}$

       $y-2=3(x-1)\pm \sqrt{10}\sqrt{3^2+1}$

       $y=3x-3+2\pm \sqrt{10}\sqrt{9+1}$

       $y=3x-1\pm \sqrt{10} \sqrt{10}$

       $y=3x-1\pm\sqrt{100}$

       $y=3x-1\pm 10$

       $y=3x-1+10$   atau   $y=3x-1-10$

       $y=3x+9$   atau $y=3x-11$

       $3x-y=-9$   atau $3x-y=11$

       jadi persamaan garis singgungnya yaitu $3x-y=-9$ atau $3x-y=11$

       Latihan 4;

       1.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x-6y-3=0$ tegak lurus dengan garis $2x-3y=-7$ adalah ...

       2.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-4x-6y-7=0$ tegak lurus dengan garis $2x-y=1$ ...