Skip to main content

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

By

 A.  Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui satu titik pada lingkaran.

        

         Persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1)$ pada lingkaran yang berbentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

         dimana;  $(a,b)$ merupakan  pusat lingkaran dan $(x_1,y_1)$  merupakan titik yang dilalui oleh garis tersebut.

         Contoh 1;
         Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(2,3)$ dan menyinggung lingkaran $(x-4)^2+(y-2)^2=5$ adalah...
         
         Jawab;
         $(a,b)=(4,2)$
         $(x_1, y_1)=(2,3)$
         persamaan garis singgung lingkaran adalah $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$
         $(2-4)(x-4)+(3-2)(y-2)=5$
         $(-2)(x-4)+(1)(y-2)=5$
         $-2x+8+y-2=5$
         $-2x+y+6=5$
         $-2x+y=5-6$
         $-2x+y=-1$ dikali dengan $(-1)$ menjadi
         $2x-y=1$
         jadi persamaan garis singgungnya adalah $2x-y=1$

         Latihan 1;
         1.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(2,4)$ dan menyinggung lingkaran  $(x-4)^2+(y-2)^2=8$.
         2.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(5,4)$ dan menyinggung lingkaran $(x-3)^2+(y-1)^2=13$

        Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik $(x_1,y_1)$ dan menyinggung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $x_1x+y_1y+A\left(\frac{x+x_1}{2}\right)+B\left(\frac{y+y_1}{2}\right)+C=0$

         dimana $(x_1,y_1)$ titik yang dilalui persamaan garis singgung lingkaran 
         Contoh;
         Tentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik $(5,2)$ dan menyinggung lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-6x-2y+5=0$ adalah ...
         Jawab;
         Persamaan garis singgungnya $x_1x+y_1y+A\left(\frac{x+x_1}{2}\right)+B\left(\frac{y+y_1}{2}\right)+C=0$
         $5x+2y-6\left(\frac{x+5}{2}\right)+-2\left(\frac{y+2}{2}\right)+5=0$
         $5x+2y-3(x+5)-(y+2)+5=0$
         $5x+2y-3x-15-y-2+5=0$
         $5x-3x+2y-y-15-2+5=0$
         $2x+y-12=0$
         $2x+y=12$
        
         Latihan 2;
         1.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik $(4,-1)$ dan menyinggung lingkaran dengan persamaan  $x^2+y^2-4x-2y-3=0$
        2.  Tentukan persamaan garis singgung lingakaran melalui titik $(2,-1)$ dan menyinggung lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-2x-1=0$

Persamaan Garis Singgung lingkaran jika diketahui gradien garisnya ($m$) adalah $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}$ dimana (a,b) merupakan pusat lingkaran dan r jari-jari lingkaran.

         Contoh 3;
         Tentukan persamaan garis singgung lingkaran bergradien 1 menyinggung lingkaran  $(x-2)^2+y^2=2$ adalah ...
        Jawab;

        lingkaran $(x-2)^2+y^2=2$ memiliki pusat $(2,0)$ dan berjari -jari $\sqrt{2}$.

        gradien garis : $m=1$

        Persamaan garis singgung lingkaran $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}$

        $y-0=1(x-2)\pm \sqrt{2}\sqrt{(1)^2+1}$

        $y=x-2\pm \sqrt{2}\sqrt{1+1}$

        $y=x-2\pm \sqrt{4}$

        $y=x-2\pm 2$

        $y_1=x-2+2$    atau $y_2=x-2-2$

       $y_1=x$                atau $y_2=x-4$

       jadi persamaan garis singgung pertama $y=x$ atau $x-y=0$, persamaan garis singgung kedua $y=x-4$ atau $x-y=4$

         Latihan 3;
         1.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran bergradien $3$ menyinggung lingkaran $(x-4)^2+(y+2)^2=40$...

         2.   Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$ dengan gradien $-2$....

        Contoh 4;
        Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x-4y-5=0$ yang tegak lurus dengan garis $x+3y=7$ adalah ...
        Jawab;
        $x^2+y^2-2x-4y-5=0$ 
        Pusat $(a,b)$ adalah $\left(\frac{-A}{2},\frac{-B}{2}\right)=\left(\frac{-(-2)}{2},\frac{-(-4)}{2}\right)=(1,2)$
        Jari-jari $r=\sqrt{a^2+b^2-C}=\sqrt{(1)^2+(2)^2-(-5)}=\sqrt{1+4+5}=\sqrt{10}$
       Gradien garis
       $x+3y=7$
       $3y=-x+7$
       $y=\frac{-1}{3}x+\frac{7}{3}$  koefisien pada $x$ merupakan gradien garis, ketika persamaan garis berbentuk $y=mx+c$
       $m_{\text{garis}}=\frac{-1}{3}$
       Jika garis saling tegak lurus, maka $m_{\text{garis singgung}}=\frac{-1}{m_{\text{garis}}}$
       $m_{\text{garis}}=\frac{-1}{\frac{-1}{3}}=-1\times \frac{3}{-1}=3$
       persamaan garis singgung lingkaran 
       $y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}$
       $y-2=3(x-1)\pm \sqrt{10}\sqrt{3^2+1}$
       $y=3x-3+2\pm \sqrt{10}\sqrt{9+1}$
       $y=3x-1\pm \sqrt{10} \sqrt{10}$
       $y=3x-1\pm\sqrt{100}$
       $y=3x-1\pm 10$
       $y=3x-1+10$   atau   $y=3x-1-10$
       $y=3x+9$   atau $y=3x-11$
       $3x-y=-9$   atau $3x-y=11$
       jadi persamaan garis singgungnya yaitu $3x-y=-9$ atau $3x-y=11$
       Latihan 4;
       1.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x-6y-3=0$ tegak lurus dengan garis $2x-3y=-7$ adalah ...
       2.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-4x-6y-7=0$ tegak lurus dengan garis $2x-y=1$ ...


Labels:

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Pecatur A, B, C dan D bertanding dalam suatu turnamen catur, Urutan pemain yang memperoleh nilai tertinggi sampai ke terendah adalah ...

By
  Pecatur A, B, C dan D bertanding dalam suatu turnamen catur. Setiap pemain saling bertemu satu kali. pada setiap pertandingan, pemain yang menang, seri dan kalah, berturut-turut mendapatkan nilai 2, 1, dan 0. Data hasil pertandingan adalah A menang 2 kali, B seri dua kali, C kalah dua kali, dan D tidak pernah seri. Pembahasan; dari tabel setiap pecatur bertanding sebanyak tiga kali; seperti A dengan B, A dengan C dan A dengan D.  *B dua kali seri pastinya B  seri ketika melawan A dan melawan C (karena D tidak pernah seri),  * A menang 2 kali pastinya A menang melawan C dan melawan D ( karena A melawan B seri) *  kalah 2 kali pastinya C kalah melawan A dan melawan D (karena C seri melawan B) B dan D belum ditentukan menang atau kalah nya.   Pertandingan     Menang     seri     kalah                 A dan B         -   B/A     -      A dan C        A    -   C      A dan D       A    -     D      B dan C        -   B/C     -      B dan D      B/D    -   B/D    ?      C dan D        D
Post a Comment
Read more

SOAL AKM TRANSFORMASI MATRIKS

By
 1.   Tata mendapatkan tugas dari Yuliana untuk menentukan besaran translasi yang dilakukannya jika posisi awalnya dititik $(4,2)$ dan posisi akhirnya$(-1,-2)$  berapakah besaran translasinya? Jawab; Pososi Akhir = posisi awal + besaran translasi $\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$ $4+a=-1$ maka $a=-1-4=-5$ $2+b=-2$ maka $b=-2-2=-4$ jadi besaran translasinya $(-5,-4)$ 2.   Persamaan parabola $y=2x^2+6$ ditranslasikan oleh matriks $\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ akan mempunyai bayangan parabola dengan titik puncak …. Jawab; $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ $x+1=x'$ maka $x=x'-1$ .....(1) $y+3=y'$ maka $y=y'-3$ ....(2) substitusi (1) dan (2) ke $y=2^2+6$ menjadi $y'-3=2(x'-1)^2+6$ $y'-3=2(x'^2-2x'+1)+6$ $y'-3=2x'^2-4x'
1 comment
Read more

SOAL AKM MATRIKS

By
  7.   Jawab; a. BENAR B. Salah (seharusnya sama dengan g bukan h) C. Salah (seharusnya kotak silang bukan kotak dua) D. Salah E.  Salah 8.   Jawab; $A_{2\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan)  $B_{2\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom B sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $A_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom A tidak sama dengan banyak baris C (tida dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom C sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $B_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom B tidak sama dengan banyak baris C ( tidak dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan) jadi banyak perkalian yang dapat dilakukan adalah 6 9.   Matriks $L=\left(\begin{matrix}a&b&c\\1&2&3\\d&e&f\end{matrix}\right)$, jika $L^T$ merupakan transpose dari matriks L, ma
Post a Comment
Read more