Turunan Fungsi Aljabar

 A.  Pengertian Dasar Turunan Fungsi Aljabar

         Notasi Turunan Pertama Fungsi Aljabar

           Turuanan pertama dari $f(x)$ adalah $f'(x)$ dibaca f aksen x, ada juga menggunakan notasi Leibnis, jika $f(x) =y$ maka turunan pertama dari $f(x)$ dapat ditulis $\frac{dy}{dx}$  dibaca de y, de x.

 atau $\frac{df(x)}{dx}$ dibaca de f(x), de x.

turunan fungsi dari $f(x)$ dapat ditentukan menggunakan konsep limit yaitu;

$f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Contoh 1;

 jika $f(x)=3x-1$ maka tentukan turunan pertama dari $f(x)$ menggunakan konsep limit.

Jawab;

$f(x)=3x-1$

$f(x+h)$ artinya ganti setiap x yang ada pada $f(x)$ dengan $(x+h)$ sehingga menjadi $f(x+h)=3(x+h)-1$

$f(x+h)=3x+3h-1$

$f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{(3x+3h-1)-(3x-1)}{h}$

$f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{3x-3x+3h-1+1}{h}$

$f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{3h}{h}$

$f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}3$

$f'(x)=3$

Latihan 1;

1.  Jika $f(x)=4x+5$ maka tentukan turunan pertama dari fungsi $f(x)$ menggunakan konsep limit.

2.  Jika $f(x)=3-2x$  maka tentukan turunan pertama dari fungsi $f(x)$ menggunakan konsep limit.

B.  Teorema Dasar Turunan

1.  Turunan fungsi konstanta $f(x)=k$ dimana $k$ merupakan konstanta

        $f(x)=k$, dimana k merupakan konstanta, maka turunan pertama dari $f(x)$ adalah ...

        ingat; turunan pertama dapat ditentukan menggunakan konsep limit seperti berikut;

        $f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

        $f(x)=k$ karena tidak ada variabel x yang diganti dengan $(x+h)$ maka 

     

        $f(x+h)=k$ sehingga turunan pertama $f'(x)$ menurut konsep limit yaitu;

        $f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

        $f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{k-k}{h}$

 

        $f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{0}{h}$

        $f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}0$

        $f'(x)=0$

        Jadi, Jika $f(x)=k$, dimana k merupakan konstanta, maka $f'(x)=0$

       Contoh;

         Tentukan turunan pertama dari $f(x)=2^{2023}$

         Jawab;

         $f(x)=2^{2023}$ , karena $2^{2023}$ merupakan konstanta, maka $f'(x)=0$

         Latihan 2;

         1.  Tentukan turunan pertama dari $f(x)=\sqrt{2045}$

         2.  Tentukan turunan pertama dari $y=-\frac{2}{5}$

2.  Turunan fungsi berbentuk $f(x)=ax^n$

       $f(x)=ax^n$ maka turunan pertama dari $f'(x)=ax^n$ adalah ...

       $f(x)=ax^n$

       $f(x+h)$ artinya ganti setiap $x$ yang ada pada $f(x)$ dengan $x+h$ sehingga, 

       $f(x+h)=a(x+h)^n$

       Catatan;

       $(x+h)^n=C^n_0x^nh^0+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+....+C^n_nx^0h^n$

       dan 

       $C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

       serta

       $0!=1$

       $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times (n-4)\times ...\times 1$

       $r!=r\times (r-1)\times (r-2)\times (r-3)\times (r-4)\times ....\times 1$

       sehingga;

       $C^n_0=\frac{n!}{0!(n-0)!}=\frac{n!}{1\times n!}=1$

       $C^n_1=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{n\times (n-1)!}{1!(n-1)!}=n$

       $C^n_2=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n\times (n-1)\times(n-2)!}{2\times 1\times(n-2)!}=\frac{n\times(n-1)}{2}$

         .

         .

         .

        $C^n_n=\frac{n!}{n!(n-n)!}=\frac{n!}{n!\times 0!}=\frac{n!}{n!\times 1}=1$

         

        $f(x+h)=a(C^n_0x^nh^0+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+....+C^n_nx^0h^n)$

        $f(x+h)=a(x^n+nx^{n-1}h+\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)x^{n-2}h^2+....+h^n)$

        $f(x+h)=ax^n+anx^{n-1}h+a\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)x^{n-2}h^2+....+ah^n$

        $f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

        $f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{\left[ax^n+anx^{n-1}h+a\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)x^{n-2}h^2+....+ah^n\right]-ax^n}{h}$

        $f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{ax^n-ax^n+anx^{n-1}h+\frac{an(n-1)h^2}{2}+...+ah^n}{h}$

        $f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{anx^{n-1}h+\frac{an(n-1)h^2}{2}+...+ah^n}{h}$   

        $f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}anx^{n-1}+\frac{an(n-1)h}{2}+...+ah^{n-1}$

        $f'(x)=anx^{n-1}+\frac{an(n-1)(0)}{2}+...+a(0^{n-1})$

        $f'(x)=anx^{n-1}$

        Jadi, Jika $f(x)=ax^n$ maka turunan pertama dari $f(x)$ adalah $f'(x)=anx^{n-1}$

       Contoh 3;

       Tentukan turunan pertama dari $f(x)=2x^4$ menggunakan;

       1.  Konsep limit

       2.  Teorema dasar turunan.

       Jawab;

       1.  Menggunakan konsep limit;

            $f(x)=2x^4$ 

            $f(x+h)=2(x+h)^4$

            $f(x+h)=2[x^4h^0+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4]$

            $f(x+h)=2x^4+8x^3h+12x^2h^2+8xh^3+2h^4$

            $f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

            $f'(x)=\underset{h\to 0}{\text{lim}}\frac{[2x^4+8x^3h+12x^2h^2+8xh^3+2h^4]-2x^4}{h}$

            $f'(x)=\underset{h\to0}{\text{lim}}\frac{2x^4-2x^4+8x^3h+12x^2h^2+8xh^3+2h^4}{h}$

            $f'(x)=\underset{h\to0}{\text{lim}}\frac{8x^3h+12x^2h^2+8xh^3+2h^4}{h}$

            $f'(x)=\underset{h\to0}{\text{lim}}8x^3+12x^2h+8xh^2+2h^3$

            $f'(x)=8x^3+12x^2(0)+8x(0^2)+2(0^3)$

            $f'(x)=8x^3$

       2.  Menggunakan teorem dasar turunan,

            Jika $f(x)=ax^n$ maka turunan pertama dari f(x) adalah $f'(x)=anx^{n-1}$

            $f(x)=2x^4$ 

            $f'(x)=2(4)x^{4-1}$

            $f'(x)=8x^3$  

 

       Latihan 3;

       1.  Tentukan turunan pertama dari $f(x)=4x^2$ menggunakan metode limit dan teorema dasar turunan.

       2.  tentukan turunan pertama dari $f(x)=ax^n$, menggunakan teorema dasar turunan (a ganti dengan tanggal lahir dan n ganti dengan bulan lahir). 

       Contoh 4; 

      Kecepatan disimbolkan dengan $v$ yang berasal dari bahasa inggris yaitu velocity, kecepatan merupakan jarak tempuh benda tiap satuan waktu.  pada gerak lurus berubah beraturan, kita ketahui rumus untuk menentukan jarak benda dalam satuan waktu yaitu,

$s(t)=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ , dimana $s$ (spacing) merupakan jarak dan  $a$ (accelaration) merupakan percepatan.. tentukan;

      1.  rumus kecepatan dalam satuan waktu berdasarkan rumus jarak dalam satuan waktu di atas.

          (catatan; kecepatan merupakan turunan pertama dari jarak)

     2.  Rumus percepatan dalam satuan waktu berdasarkan rumus jarak dalam satuan waktu di atas

          (catatan; percepatan merupakan turunan kedua dari jarak)

       Jawab;

     1.  Kecepatan merupakan turunan pertama dari jarak,  

          $s(t)=v_0t+\frac{1}{2}at^2$

          $v(t)=\frac{d(s(t))}{dt}$

          $v(t)=\frac{d(v_0t+\frac{1}{2}at^2)}{dt}$

          $v(t)=\frac{d}{dt}(v_0t)+\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}at^2\right)$

          $v(t)=v_0t^{1-1}+\frac{1}{2}\times 2at^{2-1}$

          $v(t)=v_0t^0+at$

          $v(t)=v_0+at$

     2.  Percepatan merupakan turunan kedua dari jarak atau turunan pertama dari kecepatan

          $v(t)=v_0+at$

          $a(t)=\frac{d(v(t))}{dt}$

          $a(t)=\frac{d}{dt}(v_0+at)$

          $a(t)=\frac{d(v_0)}{dt}+\frac{d(at)}{dt}$

          $a(t)=0+at^{1-1}$

          $a(t)=at^0$

          $a(t)=a$ artinya percepatannya tetap karena tidak ada waktu yang mempengaruhi percepatannya.

       Latihan 4;

       1.  Pada gerak melingkar berubah beraturan, ada beberapa istilah yang harus kita ketahui, perpindahan sudut dilambangkan dengan $\theta$ merupakan sudut yang dibentuk akibat gerak suatu benda dalam selang waktu tertentu, kecepatan linear atau kecepatan tangensial dilambangkan dengan $v$ artinya panjang lintasan yang ditempuh benda setiap satuan waktu, kecepatan sudut dilambangkan dengan $\omega$ (baca; omega) merupakan besar sudut yang ditempuh dalam setiap satuan waktu, dan percepatan sudut dilambangkan dengan $\alpha$ merupakan laju perubahan kecepatan sudut terhadap waktu; 

rumus perpindahan sudut dalam selang waktu t pada gerak melingkar berubah beraturan yaitu;

 $\theta (t)=\omega_0 t+\frac{1}{2}\alpha t^2$ , tentukan rumus kecepatan sudut dalam satuan waktu berdasarkan rumus perpindahan sudut di atas. (Catatan; Kecepatan sudut merupakan turunan pertama dari perpindahan sudut)

      2.  Fungsi linear yang berbentuk $f(x)=ax+b$, dimana $a$ merupakan koefisien dari $x$ dan b merupakan konstanta, kemiringan garis/ gradien garis yang dilambangkan dengan $m$  sama dengan turunan pertama dari $f(x)$ ($m=f'(x)$). ubahlah $a$ dan $b$ pada fungsi $f(x)=ax+b$, dimana $a$ dengan tanggal lahirmu dan $b$ merupakan tahun lahirmu. tentukan kemiringan fungsi tersebut.

3.  Turunan fungsi berbentuk $h(x)$ dimana $h(x)=u(x)\times v(x)$

       Jika dua buah fungsi berbentuk $u(x)$ dan $v(x)$ dan $h(x)=u(x)\times v(x)$ maka turunan pertama fungsi $h(x)$ adalah $h'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)$

       Contoh 5;

       Diketahui fungsi $u(x)=3x+2$ dan $v(x)=3x^2+5x-2$, dan $h(x)=u(x)\times v(x)$, tentukan turunan pertama fungsi $h(x)$.

       Jawab;

      

       Jika $h(x)=u(x)\times v(x)$ maka turunan pertama $h(x)$ adalah $h'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)$

      $u(x)=3x+2$ maka $u'(x)=3(1)x^{1-1}+0$

                                        $u'(x)=3x^0$

                                        $u'(x)=3(1)=3$

      $v(x)=3x^2+5x-2$ maka $v'(x)=3(2)x^{2-1}+5(1)x^{1-1}-0$

                                          $v'(x)=6x+5x^0$

                                          $v'(x)=6x+5(1)=6x+5$ 

      Jika $h(x)=u(x)\times v(x)$ maka turunan pertama $h(x)$ adalah $h'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)$

      $h'(x)=(3)(3x^2+5x-2)+(3x+2)(6x+5)$

      $h'(x)=3(3x^2)+3(5x)+3(-2)+[3x(6x+5)+2(6x+5)]$

      $h'(x)=9x^2+15x-6+[(3x)(6x)+(3x)(5)+(2)(6x)+(2)(5)]$

      $h'(x)=9x^2+15x-6+[18x^2+15x+12x+10]$

      $h'(x)=9x^2+18x^2+15x+15x+12x-6+10$

      $h'(x)=27x^2+42x+4$

      Jadi turunan pertama dari fungsi $h(x)$ adalah $h'(x)=27x^2+42x+4$

     Latihan 5;

     1.  Diketahui fungsi $u(x)=x^2+4x+4$ dan $v(x)=ax+3$, dimana $a$ merupakan bulan lahirmu, dan $h(x)=u(x)\times v(x)$, tentukan turunan pertama dari fungsi $h(x)$.

    2.  Diketahui fungsi $a(x)=-2x+1$ dan $b(x)=2x^3+4x+5$ dan $c(x)=a(x)\times b(x)$, tentukan turunan pertama dari fungsi $c(x)$ 

4.  Turunan fungsi berbentuk $h(x)$ dimana $h(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

       Jika dua buah fungsi berbentuk $u(x)$ dan $v(x)$ dan $h(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ maka turunan pertama fungsi $h(x)$ adalah $h'(x)=\frac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{v^2(x)}$

       

       Contoh 6;

       Diketahui fungsi $u(x)=3x^2-2x+1$, $v(x)=2x-1$ dan $h(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, tentukan turunan pertama fungsi $h(x)$.

       Jawab;

       $u(x)=3x^2-2x+1$ maka $u'(x)=3(2)x^{2-1}-2(1)x^{1-1}+0=6x-2x^0=6x-2$

       $v(x)=2x-1$  maka $v'(x)=2(1)x^{1-1}-0=2x^0=2$

       $h(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ maka $h'(x)=\frac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{v^2(x)}$

       $h'(x)=\frac{(6x-2)\times (2x-1)-(3x^2-2x+1)\times (2)}{(2x-1)^2}$

       $h'(x)=\frac{6x(2x-1)-2(2x-1)-2(3x^2-2x+1)}{(2x-1)^2}$

       $h'(x)=\frac{12x^2-6x-4x+2-6x^2+4x-2}{(2x-1)^2}$

       $h'(x)=\frac{12x^2-6x^2-6x+4x+4x+2-2}{(2x-1)^2}$

       $h'(x)=\frac{6x^2+2x}{(2x-1)^2}$

       Jadi turunan pertama dari fungsi $h(x)$ adalah $h'(x)=\frac{6x^2+2x}{(2x-1)^2}$

      Latihan 6

      1.  Diketahui fungsi $a(x)=x^2-4x+4$, $b(x)=3x+2$ dan $c(x)=\frac{a(x)}{b(x)}$, tentukan turunan pertama dari fungsi $c(x)$

      2.  Diketahui fungsi $u(x)=ax^2-bx+5$, $v(x)=cx+d$ dan $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, tentukan turunan pertama dari fungsi $f(x)$. 

          (catatan; a merupakan bulan lahir, b merupakan tanggal lahir, c merupakan kamu anak ke, dan d merupakan jumlah bersaudara termasuk kamu.)

5.  Turunan fungsi berbentuk $h(x)=(f(x))^n$

      Jika fungsi $h(x)=(f(x))^n$ maka turunan pertama fungsi $h(x)$ adalah $h'(x)=n\times \times f'(x)\times(f(x))^{n-1}$.

      Contoh 7;

      Diketahui fungsi $h(x)=(3x^2-5x+1)^{21}$, tentukan turunan pertama fungsi $h(x)$.

      Jawab;

      $h(x)=(f(x))^n$ maka $h'(x)=n\times f'(x)\times (f(x))^{n-1}$

      $h(x)=(3x^2-5x+1)^{21}$, berarti $f(x)=3x^2-5x+1$ sehingga $f'(x)=3(2)x^{2-1}-5x^{1-1}+0=6x-5x^0=6x-5$

      $h(x)=(f(x))^n$ maka $h'(x)=n\times f'(x)\times (f(x))^{n-1}$

      $h'(x)=21\times (6x-5)\times (3x^2-5x+1)^{21-1}$

      $h'(x)=(126x-105)(3x^2-5x+1)^{20}$

      Latihan 7;

      1.  Diketahui fungsi $h(x)=(2x^2-3x+1)^7$, tentukan turunan pertama dari fungsi $h(x)$.

      2.  Diketahui fungsi $f(x)=(2x-7)^{10}$, tentukan turunan pertama dari fungsi $f(x)$

      Contoh 8;

      Diketahui fungsi $f(x)=(3x+1)(4x-1)^8$, tentukan turunan pertama dari fungsi $f(x)$

      Jawab;

      $f(x)=(3x+1)(4x-1)^8$,

      umpamakan $a(x)=3x+1$ maka $a'(x)=3(1)x^{1-1}+0=3x^0=3$

                         $b(x)=(4x-1)^8$ maka $b'(x)=8\times (4x^{1-1}-0)\times (4x-1)^{8-1}=8\times (4x^0)\times (4x-1)^7=32(4x-1)^7$

      $f(x)=a(x)\times b(x)$ maka $f'(x)=a'(x)\times b(x)+a(x)\times b'(x)$

      $f'(x)=(3)\times (4x-1)^8+3\times (32(4x-1)^7)$

      $f'(x)=3(4x-1)(4x-1)^7+96(4x-1)^7$

      $f'(x)=(12x-3)(4x-1)^7+96(4x-1)^7$

      $f'(x)=(12x-3)(4x-1)^7+96(4x-1)^7$

      $f'(x)=(12x-3+96)(4x-1)^7$

      $f'(x)=(12x+93)(4x-1)^7$

      jadi turunan pertama dari $f(x)$ adalah $f'(x)=(12x+93)(4x-1)^7$

     Latihan 8;

     1.  Diketahui $f(x)=(2x+1)(3x+2)^5$, tentukan turunan pertama dari $f(x)$

     2.  Diketahui $f(x)=(ax-b)(2x+1)^7$, tentukan turunan pertama dari $f(x)$, dimana a merupakan bulan lahirmu dan b merupakan tanggal lahirmu.

   Contoh 9;

    Diketahui fungsi $h(x)=\frac{(2x-1)^5}{\sqrt[4]{3x+1}}$ tentukan turunan pertama dari $h(x)$.

   Jawab;

   $h(x)=\frac{(2x-1)^5}{\sqrt[4]{3x+1}}$, 

    umpamakan $a(x)=(2x-1)^5$ maka $a'(x)=5\times 2\times (2x-1)^4=10(2x-1)^4$

                       $b(x)=\sqrt[4]{3x+1}=(3x+1)^{\frac{1}{4}}$ maka $b'(x)=\frac{1}{4}\times 3\times (3x+1)^{\frac{1}{4}-\frac{4}{4}}=\frac{3}{4}(3x+1)^{-\frac{3}{4}}$

   Jika $h(x)=\frac{a(x)}{b(x)}$ maka $h'(x)=\frac{a'(x)\times b(x)-a(x)\times b'(x)}{b^2}$

   $h'(x)=\frac{10(2x-1)^4\times (3x+1)^{\frac{1}{4}}-(2x-1)^5\times \frac{3}{4}(3x+1)^{-\frac{3}{4}}}{\left[(3x+1)^{\frac{1}{4}}\right]^2}$

Latihan 9;