INTEGRAL TAK TENTU

 A.  KONSEP DASAR INTEGRAL

    1.  $\int a\text{ } dx=ax+C$, dimana $a$ dan $C$ merupakan konstanta

            Contoh 1;

             Diketahui $f(x)=2023$ tentukan hasil dari $\int f(x)\text{ }dx=$ ....

            Jawab;

             $\int f(x)\text{ }dx=\int 2023\text{ }dx$

                              $=2023x+C$

             

             Latihan 1;

             1)  Diketahui $f(x)=a$, dimana $a$ merupakan tanggal lahirmu, tentukan hasil dari $\int f(x)\text{ } dx=$ ....

             2)  Diketahui $f(x)=\frac{a}{b}$, dimana $a$ merupakan bulan lahirmu dan $b$ merupakan tanggal lahirmu.

    2.  $\int ax^n\text{ } dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$, dimana $a$ merupakan koefisien dari $x^n$ dan $C$ merupakan konstanta.

            Contoh 2;

            Diketahui $h(t)=2t^5$, tentukan hasil dari $\int h(t)\text{ }dt=$....

            Jawab;

            $\int h(t) \text{ } dt=\int 2t^5 \text{ }dt$

                            $=\frac{2}{5+1}t^{5+1}+C$

                            $=\frac{2}{6}t^6+C$

                            $=\frac{1}{3}t^6+C$

            Latihan 2;

            1)  Diketahui $v(t)=3t^a$, dimana $a$ merupakan no urutmu pada absensi kelas, tentukan hasil dari $\int v(t)\text{ }dt=$....

            2)  Diketahui $f(x)=x^{13}$, tentukan hasil dari $\int \sqrt[a]{f(x)}\text{ }dx=$ dimana $a$ merupakan bulan lahirmu....

           Contoh 3;

           Diketahui $f(x)=\sqrt{3}+2\sqrt{x}-1$, tentukan hasil dari $\int f(x)\text{ }dx=$ ....

           Jawab;

           $\int f(x) \text{ }dx=\int \left(\sqrt{x^3}+2\sqrt{x}-1\right)\text{ }dx$

                          $=\int\left(x^{\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}-1\right)\text{ }dx$

                          $=\frac{1}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}+\frac{2}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}-x+C$

                          $=\frac{1}{\frac{3}{2}+\frac{2}{2}}x^{\frac{3}{2}+\frac{2}{2}}+\frac{2}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}x^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}-x+C$

                         $=\frac{1}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}-x+C$

                        $=1\times\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+2\times\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x+C$

                        

                        $=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-x+C$

                        $=\frac{2}{5}x^{2+\frac{1}{2}}+\frac{4}{3}x^{1+\frac{1}{2}}-x+C$

   

                        $=\frac{2}{5}x^2.x^{\frac{1}{2}}+\frac{4}{3}x.x^{\frac{1}{2}}-x+C$

      

                        $=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x}+\frac{4}{3}x\sqrt{x}-x+C$

           Latihan 3;

           1)  Diketahui fungsi $f(x)=x^3+2x^2-x+5$, tentukan hasil dari $\int f(x)\text dx=$....

           2)  Diketahui fungsi $h(x)=3\sqrt{x^5}+\sqrt{x}-2$, tentukan hasil dari $\int h(x)\text{ } dx=$....

          Contoh 4;

          Jika $\int f(x)\text{ }dx=F(x)$, $f(x)=x^2-4x+4$ dan $F(3)=0$, tentukan $F(x)$.

          Jawab;

          $F(x)=\int f(x)\text{ }dx$

                 $=\int (x^2-4x+4)dx$

                 $=\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{2}x^2+4x+C$

                 $=\frac{1}{3}x^3-2x^2+4x+C$

          $F(3)0$

                 $\frac{1}{3}(3)^3-2(3)^2+4(3)+C=0$

                 $\frac{1}{3}(27)-2(9)+12+C=0$

                 $9-18+12+C=0$

                 $3+C=0$

                 $C=-3$

           Jadi $F(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+4x-3$

           Latihan 4;

           1)  Jika $\int h(x)\text{ }dx=H(x)$, $h(x)=x^2-5x+6$ dan $H(3)=0$, tentukan $H(x)=$ ...

           2)  Jika $\int f(x)\text{ }dx=F(x)$, $f(x)=ax-b$, dan $F(2)=d$ tentukan $F(x)=$ ...

                ($a$ merupakan jumlah bersaudara, $b$ merupakan bulan lahirmu dan $d$ merupakan nomor urutmu pada absensi kelas)

           Contoh 5;

           Diketahui garis $y=2x-4$ menyinggung kurva $F(x)$. $(-1,10)$ merupakan titik yang dilalui oleh kurva $F(x)$. tentukan persamaan kurva tersebut.

            Jawab;

            $f'(x)=y=2x-4$

            Kurva:  $F(x)= \int f'(x)\text{ }dx=\int ( 2x-4)\text{ }dx$

                                $=\frac{2}{2}x^2-4x+C$

                                $=x^2-4x+C$

            titik $(-1,10)$ artinya $F(-1)=10$

            $F(x)=x^2-4x+C$

            $10=(-1)^2-4(-1)+C$

            $10=1+4+C$

            $10=5+C$

            $5+C=10$

            $C=10-5$

            $C=5$

            Jadi persamaan kurva tersebut adalah $F(x)=x^2-4x+5$

           Latihan 5;

           1.  Diketahui garis $y=2x+6$ menyinggung kurva $F(x)$.  $(1, 5)$ merupakan titik yang dilalui oleh kurva $F(x)$. tentukan persamaan kurva tersebut.

           2.  Diketahui garis $y=4x-4$ menyinggung kurva $F(x)$. $(2,1)$ merupakan titik yang dilalui oleh kurva $F(x)$. tentukan persamaan kurva tersebut.

B.  INTEGRAL SUBSTITUSI

        Integral Substitusi dilakukan jika yang akan di integralkan merupakan perkalian dua buah fungsi, seperti berikut;

$\int(f(x))^n(g(x))\text{ }dx$

Jika  $f'(x)=k(g(x))$ dimana $k$ merupakan konstanta, maka kita dapat menyelesaikan persoalan $\int(f(x))^n(g(x))\text{ }dx$ dapat diselesaikan menggunakan metode substitusi. caranya adalah;

$\int(f(x))^n(g(x))\text{ }dx=\int(f(x))^n(g(x))\text{ }\frac{d(f(x))}{f'(x)}$

                                     $=\int(f(x))^n(g(x))\text{ }\frac{d(f(x))}{k(g(x))}$

                                     $=\int\left(\frac{(f(x))^n}{k}\right)\text{ }d(f(x))$

                                     $=\frac{(f(x))^{n+1}}{k(n+1)}+C$

sehingga;

Jika $f'(x)=k(g(x))$ dimana $k$ merupakan konstanta, maka $\int(f(x))^n(g(x))\text{ }dx=\frac{(f(x))^{n+1}}{k(n+1)}+C$

           Contoh 6;

           Hasil dari $\int(x^2-6x+7)^5(x-3)\text{ }dx=$ adalah....

           Jawab;

           $f(x)=x^2-6x+7$ maka $f'(x)=2x-6=2(x-3)$

           $g(x)=x-3$

           karena $f'(x)=2(x-3)=2(g(x))$ maka persoalannya dapat diselesaikan dengan metode substitusi;

           $\int(f(x))^n(g(x))\text{ }dx=\frac{(f(x))^{n+1}}{k(n+1)}+C$

           $\int(x^2-6x+7)^5(x-3)\text{ }dx=\frac{(x^2-6x+7)^{5+1}}{2(5+1)}+C$

                                                                 $=\frac{(2x-6x+7)^6}{12}+C$

           Jadi   $\int(x^2-6x+7)^5(x-3)\text{ }dx=\frac{(2x-6x+7)^6}{12}+C$

           Latihan 6;

           1)  Hasil dari $\int (x^2+4x-1)^3(x+2)\text{ }dx$ adalah....

           2)  Hasil dari $\int (3x^2-5x)^4(12x-10)\text{ }dx$ adalah ...

           3)  Hasil dari $\int(3x^2-2x)^{10}(12x-4)\text{ }dx$ adalah ...

           Contoh 7;

           Hasil dari $\int\sqrt[3]{(x^2-8x)^4}(3x-12)\text{ }dx$ adalah...

           Jawab

           $\int\sqrt[3]{(x^2-8x)^4}(x-4)\text{ }dx=\int(x^2-8x)^{\frac{4}{3}}(x-4)\text{ }dx$

           $f(x)=x^2-8x$ maka $f'(x)=2x-8=2(x-4)$

           $g(x)=3x-12=3(x-4)$ maka $f('x)=\frac{2}{3}(3x-12)=\frac{2}{3}(g(x))$ 

           Karena $f'(x)=\frac{2}{3}(g(x))$ maka dapat diselesaikan dengan metode substitusi yaitu;

          

           $\int(f(x))^n(g(x))\text{ }dx=\frac{(f(x))^{n+1}}{k(n+1)}+C$

           $\int(x^2-8x)^{\frac{4}{3}}(x-4)\text{ }dx=\frac{(x^2-8x)^{\frac{4}{3}+1}}{\frac{2}{3}\left(\frac{4}{3}+1\right)}+C$

                                       $=\frac{(x^2-8x)^{\frac{4}{3}+\frac{3}{3}}}{\frac{2}{3}\left(\frac{4}{3}+\frac{3}{3}\right)}+C$

             

                                        $=\frac{(x^2-8x)^{\frac{7}{3}}}{\frac{2}{3}\left(\frac{7}{3}\right)}+C$

                                       $=\frac{(x^2-8x)^{\frac{7}{3}}}{\frac{14}{9}}+C$

                                       $=\frac{9(x^2-8x)^{\frac{7}{3}}}{14}+C$

                                       $=\frac{9\sqrt[3]{(x^2-8x)^7}}{14}+C$

Jadi $\int\sqrt[3]{(x^2-8x)^4}(3x-12)\text{ }dx=\frac{9\sqrt[3]{(x^2-8x)^7}}{14}+C$

          Latihan 7;

          1.  Hasil dari $\int\sqrt[5]{(x^2-4x)^4}(5x-10)\text{ }dx$ adalah...

          2.  Hasil dari $\int\sqrt[4]{(2x^3-5x+2)}(12x^2-10)\text{ }dx$ adalah....

          3.  Hasil dari $\int\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{(3x^2+6x+5)^2}}\right)\text{ }dx$ adalah ...

C.  INTEGRAL PARSIAL

         Pengintegralan perkalian dua buah fungsi dan tidak dapat diselesaikan menggunakan metode substitusi, maka ada cara lain dalam menyelesaikannya yaitu menggunakan metode parsial yaitu dengan mempartisi (membagi) menjadi dua fungsi, satu fungsi fungsi dilakukan proses pengintegralan dan satu fungsi dilakukan proses turunan (differensial). untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut;

           Contoh 8;

           Hasil dari $\int(x+3)^5(x^2+4x+4)\text{ }dx$ adalah...

           Jawab;

           ada dua buah fungsi yaitu;

           Fungsi pertama $(x+1)^5$ dan fungsi kedua $(x^2+4x+4)$, langkah selanjutnya adalah menentukan salah fungsi yang akan dilakukan proses turunan dengan syarat, diantara dua fungsi jika dilakukan proses turunan beberapa kali dan yang paling cepat menjadi nol. itulah bagian fungsi yang akan kita turunkan.

kita dapat menggunakan tabel bantuan.