Skip to main content

INTEGRAL TAK TENTU

 A.  KONSEP DASAR INTEGRAL

    1.  $\int a\text{ } dx=ax+C$, dimana $a$ dan $C$ merupakan konstanta

            Contoh 1;
             Diketahui $f(x)=2023$ tentukan hasil dari $\int f(x)\text{ }dx=$ ....
            Jawab;
             $\int f(x)\text{ }dx=\int 2023\text{ }dx$
                              $=2023x+C$
             
             Latihan 1;
             1)  Diketahui $f(x)=a$, dimana $a$ merupakan tanggal lahirmu, tentukan hasil dari $\int f(x)\text{ } dx=$ ....
             2)  Diketahui $f(x)=\frac{a}{b}$, dimana $a$ merupakan bulan lahirmu dan $b$ merupakan tanggal lahirmu.

    2.  $\int ax^n\text{ } dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$, dimana $a$ merupakan koefisien dari $x^n$ dan $C$ merupakan konstanta.

            Contoh 2;
            Diketahui $h(t)=2t^5$, tentukan hasil dari $\int h(t)\text{ }dt=$....
            Jawab;
            $\int h(t) \text{ } dt=\int 2t^5 \text{ }dt$
                            $=\frac{2}{5+1}t^{5+1}+C$
                            $=\frac{2}{6}t^6+C$
                            $=\frac{1}{3}t^6+C$
            Latihan 2;
            1)  Diketahui $v(t)=3t^a$, dimana $a$ merupakan no urutmu pada absensi kelas, tentukan hasil dari $\int v(t)\text{ }dt=$....
            2)  Diketahui $f(x)=x^{13}$, tentukan hasil dari $\int \sqrt[a]{f(x)}\text{ }dx=$ dimana $a$ merupakan bulan lahirmu....

           Contoh 3;
           Diketahui $f(x)=\sqrt{3}+2\sqrt{x}-1$, tentukan hasil dari $\int f(x)\text{ }dx=$ ....
           Jawab;
           $\int f(x) \text{ }dx=\int \left(\sqrt{x^3}+2\sqrt{x}-1\right)\text{ }dx$
                          $=\int\left(x^{\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}-1\right)\text{ }dx$
                          $=\frac{1}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}+\frac{2}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}-x+C$

                          $=\frac{1}{\frac{3}{2}+\frac{2}{2}}x^{\frac{3}{2}+\frac{2}{2}}+\frac{2}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}x^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}-x+C$

                         $=\frac{1}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}-x+C$

                        $=1\times\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+2\times\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x+C$
                        
                        $=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-x+C$

                        $=\frac{2}{5}x^{2+\frac{1}{2}}+\frac{4}{3}x^{1+\frac{1}{2}}-x+C$
   
                        $=\frac{2}{5}x^2.x^{\frac{1}{2}}+\frac{4}{3}x.x^{\frac{1}{2}}-x+C$
      
                        $=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x}+\frac{4}{3}x\sqrt{x}-x+C$

           Latihan 3;
           1)  Diketahui fungsi $f(x)=x^3+2x^2-x+5$, tentukan hasil dari $\int f(x)\text dx=$....
           2)  Diketahui fungsi $h(x)=3\sqrt{x^5}+\sqrt{x}-2$, tentukan hasil dari $\int h(x)\text{ } dx=$....

          Contoh 4;
          Jika $\int f(x)\text{ }dx=F(x)$, $f(x)=x^2-4x+4$ dan $F(3)=0$, tentukan $F(x)$.
          Jawab;
          $F(x)=\int f(x)\text{ }dx$
                 $=\int (x^2-4x+4)dx$
                 $=\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{2}x^2+4x+C$
                 $=\frac{1}{3}x^3-2x^2+4x+C$
          $F(3)0$
                 $\frac{1}{3}(3)^3-2(3)^2+4(3)+C=0$
                 $\frac{1}{3}(27)-2(9)+12+C=0$
                 $9-18+12+C=0$
                 $3+C=0$
                 $C=-3$
           Jadi $F(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+4x-3$

           Latihan 4;
           1)  Jika $\int h(x)\text{ }dx=H(x)$, $h(x)=x^2-5x+6$ dan $H(3)=0$, tentukan $H(x)=$ ...
           2)  Jika $\int f(x)\text{ }dx=F(x)$, $f(x)=ax-b$, dan $F(2)=d$ tentukan $F(x)=$ ...
                ($a$ merupakan jumlah bersaudara, $b$ merupakan bulan lahirmu dan $d$ merupakan nomor urutmu pada absensi kelas)

           Contoh 5;
           Diketahui garis $y=2x-4$ menyinggung kurva $F(x)$. $(-1,10)$ merupakan titik yang dilalui oleh kurva $F(x)$. tentukan persamaan kurva tersebut.
            Jawab;
            $f'(x)=y=2x-4$
            Kurva:  $F(x)= \int f'(x)\text{ }dx=\int ( 2x-4)\text{ }dx$
                                $=\frac{2}{2}x^2-4x+C$
                                $=x^2-4x+C$
            titik $(-1,10)$ artinya $F(-1)=10$
            $F(x)=x^2-4x+C$
            $10=(-1)^2-4(-1)+C$
            $10=1+4+C$
            $10=5+C$
            $5+C=10$
            $C=10-5$
            $C=5$
            Jadi persamaan kurva tersebut adalah $F(x)=x^2-4x+5$

           Latihan 5;
           1.  Diketahui garis $y=2x+6$ menyinggung kurva $F(x)$.  $(1, 5)$ merupakan titik yang dilalui oleh kurva $F(x)$. tentukan persamaan kurva tersebut.
           2.  Diketahui garis $y=4x-4$ menyinggung kurva $F(x)$. $(2,1)$ merupakan titik yang dilalui oleh kurva $F(x)$. tentukan persamaan kurva tersebut.

B.  INTEGRAL SUBSTITUSI

        Integral Substitusi dilakukan jika yang akan di integralkan merupakan perkalian dua buah fungsi, seperti berikut;
$\int(f(x))^n(g(x))\text{ }dx$
Jika  $f'(x)=k(g(x))$ dimana $k$ merupakan konstanta, maka kita dapat menyelesaikan persoalan $\int(f(x))^n(g(x))\text{ }dx$ dapat diselesaikan menggunakan metode substitusi. caranya adalah;
$\int(f(x))^n(g(x))\text{ }dx=\int(f(x))^n(g(x))\text{ }\frac{d(f(x))}{f'(x)}$

                                     $=\int(f(x))^n(g(x))\text{ }\frac{d(f(x))}{k(g(x))}$

                                     $=\int\left(\frac{(f(x))^n}{k}\right)\text{ }d(f(x))$

                                     $=\frac{(f(x))^{n+1}}{k(n+1)}+C$
sehingga;
Jika $f'(x)=k(g(x))$ dimana $k$ merupakan konstanta, maka $\int(f(x))^n(g(x))\text{ }dx=\frac{(f(x))^{n+1}}{k(n+1)}+C$

           Contoh 6;
           Hasil dari $\int(x^2-6x+7)^5(x-3)\text{ }dx=$ adalah....
           Jawab;
           $f(x)=x^2-6x+7$ maka $f'(x)=2x-6=2(x-3)$
           $g(x)=x-3$
           karena $f'(x)=2(x-3)=2(g(x))$ maka persoalannya dapat diselesaikan dengan metode substitusi;
           $\int(f(x))^n(g(x))\text{ }dx=\frac{(f(x))^{n+1}}{k(n+1)}+C$

           $\int(x^2-6x+7)^5(x-3)\text{ }dx=\frac{(x^2-6x+7)^{5+1}}{2(5+1)}+C$

                                                                 $=\frac{(2x-6x+7)^6}{12}+C$

           Jadi   $\int(x^2-6x+7)^5(x-3)\text{ }dx=\frac{(2x-6x+7)^6}{12}+C$

           Latihan 6;
           1)  Hasil dari $\int (x^2+4x-1)^3(x+2)\text{ }dx$ adalah....
           2)  Hasil dari $\int (3x^2-5x)^4(12x-10)\text{ }dx$ adalah ...
           3)  Hasil dari $\int(3x^2-2x)^{10}(12x-4)\text{ }dx$ adalah ...

           Contoh 7;
           Hasil dari $\int\sqrt[3]{(x^2-8x)^4}(3x-12)\text{ }dx$ adalah...
           Jawab
           $\int\sqrt[3]{(x^2-8x)^4}(x-4)\text{ }dx=\int(x^2-8x)^{\frac{4}{3}}(x-4)\text{ }dx$
           $f(x)=x^2-8x$ maka $f'(x)=2x-8=2(x-4)$
           $g(x)=3x-12=3(x-4)$ maka $f('x)=\frac{2}{3}(3x-12)=\frac{2}{3}(g(x))$ 
           Karena $f'(x)=\frac{2}{3}(g(x))$ maka dapat diselesaikan dengan metode substitusi yaitu;
          
           $\int(f(x))^n(g(x))\text{ }dx=\frac{(f(x))^{n+1}}{k(n+1)}+C$

           $\int(x^2-8x)^{\frac{4}{3}}(x-4)\text{ }dx=\frac{(x^2-8x)^{\frac{4}{3}+1}}{\frac{2}{3}\left(\frac{4}{3}+1\right)}+C$

                                       $=\frac{(x^2-8x)^{\frac{4}{3}+\frac{3}{3}}}{\frac{2}{3}\left(\frac{4}{3}+\frac{3}{3}\right)}+C$
             
                                        $=\frac{(x^2-8x)^{\frac{7}{3}}}{\frac{2}{3}\left(\frac{7}{3}\right)}+C$

                                       $=\frac{(x^2-8x)^{\frac{7}{3}}}{\frac{14}{9}}+C$

                                       $=\frac{9(x^2-8x)^{\frac{7}{3}}}{14}+C$

                                       $=\frac{9\sqrt[3]{(x^2-8x)^7}}{14}+C$

Jadi $\int\sqrt[3]{(x^2-8x)^4}(3x-12)\text{ }dx=\frac{9\sqrt[3]{(x^2-8x)^7}}{14}+C$

          Latihan 7;
          1.  Hasil dari $\int\sqrt[5]{(x^2-4x)^4}(5x-10)\text{ }dx$ adalah...
          2.  Hasil dari $\int\sqrt[4]{(2x^3-5x+2)}(12x^2-10)\text{ }dx$ adalah....
          3.  Hasil dari $\int\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{(3x^2+6x+5)^2}}\right)\text{ }dx$ adalah ...

C.  INTEGRAL PARSIAL

         Pengintegralan perkalian dua buah fungsi dan tidak dapat diselesaikan menggunakan metode substitusi, maka ada cara lain dalam menyelesaikannya yaitu menggunakan metode parsial yaitu dengan mempartisi (membagi) menjadi dua fungsi, satu fungsi fungsi dilakukan proses pengintegralan dan satu fungsi dilakukan proses turunan (differensial). untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut;

           Contoh 8;
           Hasil dari $\int(x+3)^5(x^2+4x+4)\text{ }dx$ adalah...
           Jawab;
           ada dua buah fungsi yaitu;
           Fungsi pertama $(x+1)^5$ dan fungsi kedua $(x^2+4x+4)$, langkah selanjutnya adalah menentukan salah fungsi yang akan dilakukan proses turunan dengan syarat, diantara dua fungsi jika dilakukan proses turunan beberapa kali dan yang paling cepat menjadi nol. itulah bagian fungsi yang akan kita turunkan.

kita dapat menggunakan tabel bantuan.

Comments

Popular posts from this blog

SOAL AKM TRANSFORMASI MATRIKS

 1.   Tata mendapatkan tugas dari Yuliana untuk menentukan besaran translasi yang dilakukannya jika posisi awalnya dititik $(4,2)$ dan posisi akhirnya$(-1,-2)$  berapakah besaran translasinya? Jawab; Pososi Akhir = posisi awal + besaran translasi $\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$ $4+a=-1$ maka $a=-1-4=-5$ $2+b=-2$ maka $b=-2-2=-4$ jadi besaran translasinya $(-5,-4)$ 2.   Persamaan parabola $y=2x^2+6$ ditranslasikan oleh matriks $\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ akan mempunyai bayangan parabola dengan titik puncak …. Jawab; $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ $x+1=x'$ maka $x=x'-1$ .....(1) $y+3=y'$ maka $y=y'-3$ ....(2) substitusi (1) dan (2) ke $y=2^2+6$ menjadi $y'-3=2(x'-1)^2+6$ $y'-3=2(x'^2-2x'+1)+6$ $y'-3=2x'^2-4x'...

SOAL AKM MATRIKS

  7.   Jawab; a. BENAR B. Salah (seharusnya sama dengan g bukan h) C. Salah (seharusnya kotak silang bukan kotak dua) D. Salah E.  Salah 8.   Jawab; $A_{2\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan)  $B_{2\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom B sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $A_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom A tidak sama dengan banyak baris C (tida dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom C sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $B_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom B tidak sama dengan banyak baris C ( tidak dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan) jadi banyak perkalian yang dapat dilakukan adalah 6 9.   Matriks $L=\left(\begin{matrix}a&b&c\\1&2&3\\d&e&f\end{matrix}\right)$, jika ...

DIAGRAM PENCAR (SCATTER PLOT)

Capaian Pembelajaran :  Menggunakan diagram pencar untuk menyelediki dan menjelaskan hubungan antara dua variabel numerik Tujuan Pembelajaran :      1.  Menyajikan diagram pencar dari sepasang data      2.  Menjelaskan hubungan antara dua variabel numerik antara dua variabel Pengertian Diagram Pencar       Diagram pencar merupakan penyajian data dalam bentuk penyebaran titik-titik pada diagram kartesius yang berguna untuk menunjukkan ada atau tidaknya hubungan/korelasi antara dua variabel kuantitatif yang disebut dengan data bivariat. Jenis – jenis varibel variabel 1.          Variabel Bebas merupakan variabel yang memberikan pengaruh terhadap variabel lainnya. istilah lain dari variabel bebas yaitu variabel independen/variabel stimulus/ variabel input/variabel predictor/variabel anteseden yang disimbolkan dengan X   2.        Variabel terikat merupa...