Menyelesaikan masalah kontekstual pada program linear

Indikator   : Menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan program linear dua variabel

Tujuan Pembelajaran  :  Peserta didik dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan program linear dua variabel

Contoh Soal 1;

Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp. 4.000,-/buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3.000,-/ buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah ….

Jawab; (Cara 1)

Langkah 1; Membuat Model Matematika dari permasalahan diatas;

Pembicaraan utama pada masalah diatas yaitu tentang Keuntungan maksimum penjulanan kue, berarti yang menjadi variabelnya yaitu kue A dan kue B.

Misalkan;  

              Banyak Kue A $=x$ 

              Banyak Kue B $=y$.

Gula: Sebuah kue A membutuhkan 20 gram gula dan sebuah kue B membutuhkan 20 gram gula sedangkan gula yang dimiliki 4 kg ($4 \text{ kg}=4\times 1000 \text{ gram}=4000 \text{ gram}$), model matematika dapat ditulis menjadi;

          $20x+20y\leq4000$   dibagi 20 menjadi $x+y\leq200$ .............(1)

Tepung: Sebuah kue A membutuhkan 60 gram tepung dan sebua kue B membutuhkan 40 gram tepung, sedangkan tepung tersedia 9 kg ($9\text{ kg}=9\times 1000 \text{ gram}=9000\text{ gram}$), model matematika dapat ditulis menjadi;

          $60x+40y\leq9000$ dibagi 20 menjadi $3x+2y\leq450$ ..........(2)  

Harga Jual:   Kue A dijual dengan haraga Rp 4000,00/ buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3.000,00/buah, pendapatan maksumum, ini disebut dengan fungsi objektif/ fungsi tujuan, model matematika dapat ditulis menjadi ;

         $F(x,y)=4000x+3000y$ .......(maks)

Jadi Model matematikanya yaitu;

$x+y\leq200$

$3x+2y\leq450$

$x\geq 0, y\geq 0$

$F(x,y)=4000x+3000y$    ......(maks)

Langkah 2;  Menggambar grafik fungsi yang ada pada model matematika diatas

$x+y=200$ 

Untuk $x=0\to y=200$ jadi titiknya $(0,200)$

untuk $y=0\to x=200$ jadi titiknya $(200,0)$

Uji Coba titik $(0,0)$ pada pertidaksamaan $x+y\leq 200$

$0+0\leq200\ to 0\leq 200$  (pernyataan benar, arsiran ke arah titik (0,0))

$3x+2y= 450$

untuk $x=0\to 3(0)+2y=450\to y=\frac{450}{2}=225$ jadi titiknya $(0, 225)$

untuk $y=0\to 3x+2(0)=450\to x=\frac{450}{3}=150$ jadi titiknya $150,0)$

Uji Coba titik $(0,0)$ pada pertidaksamaan $3x+2y\leq450$

$3(0)+2(0)\leq 450\to 0\leq450$  (Pernyataan Benar, arsiran ke arah titik (0,0))

Sehingga grafiknya menjadi

Langkah 3; Menentukan titik potong dua grafik dengan eliminasi dan substitusi

Eliminasi $x$ 

$x+y=200$          $|\times 3|$  $3x+3y=600$

$3x+2y=450$     $|\times 1|$  $3x+2y=450$    

                                               _____________________ $-$

                                              $3x-3x+3y-2y=600-450$

                                              $y=150$

Substitusi $y=150$ ke $x+y=200$, 

$x+150=200$

$x=200-150=50$

jadi titik potongnya $(x,y)$ yaitu $(50,150)$

Langkah 4; Menentukan titik Pojok daerah Himpunan (diperoleh dari grafik yang telah dibuat) dan mensubstitusi kan pada $F(x,y)=4000x+3000y$

$(150,0)\to 4000(150)+3000(0)=600.000$

$(50,150)\to 4000(50)+3000(150)=200.000+450.000=650.000$

$(0,200)\to 4000(0)+3000(200)=600.000$

jadi pendapatan maksimum adalah Rp.650.000,00

(Cara 2)

Langkah 1; Model Matematika; 

$x+y\leq200$     $\left(\frac{\text{koefisien } x}{\text{koefisien }y}=\frac{1}{1}=1\right)$

$3x+2y\leq450$      $\left(\frac{\text{koefisien } x}{\text{koefisien }y}=\frac{3}{2}=1,5\right)$

$x\geq 0, y\geq 0$

$F(x,y)=4000x+3000y$     $\left(\frac{\text{koefisien } x}{\text{koefisien }y}=\frac{4000}{3000}=1,3\right)$

urutkan perbandingan koefisien tersebut adalah 1; 1,3 ; 1,5 

karena posisi perbandingan koefisien pada fungsi tujuan berada di tengah, maka titik pojok solusi berada pada titik potong;

Langakah 2; Menentukan titik potong dua grafik dengan eliminasi dan substitusi

Eliminasi $x$ 

$x+y=200$          $|\times 3|$  $3x+3y=600$

$3x+2y=450$     $|\times 1|$  $3x+2y=450$    

                                               _____________________ $-$

                                              $3x-3x+3y-2y=600-450$

                                              $y=150$

Substitusi $y=150$ ke $x+y=200$, 

$x+150=200$

$x=200-150=50$

jadi titik potongnya $(x,y)$ yaitu $(50,150)$

Langkah 3; Subsititusi $x=50 \text{ dan }y=150 $ pada $F(x,y)=4000x+3000y$

$F(x,y)=4000(50)+3000(150)=200.000+450.000=650.000$

Jadi, pendapatan maksimum adalah Rp.650.000,- 

Latihan Soal;

1.  Suatu tempat parkir yang luasnya 300 m² digunakan untuk memarkir sebuah mobil dengan rata – rata 10 m² dan untuk bus rata – rata 20 m² dengan daya tampung hanya 24 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil Rp. 1.000,00/jam dan untuk bus Rp. 3.000,00/jam. Jika dalam satu jam tempat parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang datiag dan pergi, hasil maksimum tempat parkir itu adalah ….

2.  Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp. 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp. 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setipa harinya adalah Rp. 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue,  maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut adalah ….

Indikator  :  Menyelesaiakan Masalah yang berkaitan dengan program linear

Tujuan Pembelajaran :  Peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan program linear

Contoh Soal 2;

Nilai maksimum fungsi obyektif $4x + 2y$ pada himpunan penyelesaian system pertidaksamaan $x+y\geq4$, $x+y\leq9$,  –2x + 3y\leq12$, 3x – 2y\leq12$ adalah ….

Jawab;

$x+y\geq4$

untuk $x=0$ maka $y=4$ maka titiknya $(0,4)$

untuk $y=0$ maka $x=4$ maka titiknya $(4,0)$

Uji coba titik (0,0) pada $x+y\geq4$

$0+0\geq4\to 0\geq4$ .........(salah, berarti irisan tidak ke arah titik (0,0))

$x+y\leq9$

untuk $x=0$ maka $y=9$ maka titiknya $(0,9)$

untuk $y=0$ maka $x=9$ maka titiknya $(9,0)$

Uji Coba titik (0,0) pada $x+y\leq9$

$0+0\leq9\to 0\leq 9$ .........(benar, bararti irisan ke arah titik (0,0))

$-2x+3y\leq12$

untuk $x=0$ maka $3y=12\to y=\frac{12}{3}=4$ maka titiknya $(0,4)$

untuk $y=0$ maka $-2x=12\to x=\frac{12}{-2}=-6$ maka titiknya $(-6, 0)$

Uji coba titik (0,0) pada $-2x+3y\leq12$

$-2(0)+3(0)\leq12\to 0+0\leq12\to0\leq12$ ..........(benar, berarti irisan ke arah titik (0,0))

$3x-2y\leq12$

untuk $x=0$ maka $-2y=12\to y=\frac{12}{-2}=-6$ maka titiknya $(0,-6)$

untuk $y=0$ maka $3x=12\to x=\frac{12}{3}=4$ maka titiknya $(4,0)$

uji coba titik (0,0) pada $3x-2y\leq12$

$3(0)-2(0)\leq12\to 0-0\leq12\to0\leq12$ ........(benar, berarti irisan kearah titik (0,0))

Grafik

Berdasarkan grafik ada 4 titik pojok yaitu $(0,4), (3,6), (6,3), (4,0)$

Substitusi titik pojok ke fungsi tujuan $F(x,y)=4x+2y$

titik pojok $(0,4)$ maka $F(0,4)=4(0)+2(4)=0+8=8$

titik pojok $(3,6)$ maka $F(3,6)=4(3)+2(6)=12+12=24$

titik pojok $(6,3)$ maka $F(6,3)=4(6)+2(3)=24+6=30$

titik pojok $(4,0)$ maka $F(4,0)=4(4)+2(0)=16+0=16$

Jadi nilai maksimum adalah $30$.

Latihan 2;

1.  Nilai maksimum fungsi sasaran $3x+4y$ dari sistem pertidaksamaan $2x+y\geq6, x-y\leq0, x+y\geq10, -2x+y\leq4$.

2. Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari system pertidaksamaan $4x+2y\leq 60,x+4y\leq 48, x\geq0, y\geq0$ adalah ….