Skip to main content

Invers Matriks $3\times 3$

By

Diketahui Matriks $A=\left(\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{matrix}\right)$, invers dari matriks A adalah $A^{-1}=\frac{1}{|A|}. \text{Adj. A}$

Cara mencari Adj. A

1.  Menentukan Minor masing-masing entry.
    -  Minor entry a (tutup sebaris  dan sekolom dengan a) 
       $\text{Mi}_a=\left|\begin{matrix}e&f\\h&i\end{matrix}\right|=e\times i-f\times h$
     - Minor entry b (tutup sebaris dan sekolom dengan b)
        $\text{Mi}_b=\left|\begin{matrix}d&f\\g&i\end{matrix}\right|=d\times i-f\times g$
     - Minor entry c 
        $\text{Mi}_c=\left|\begin{matrix}d&e\\g&h\end{matrix}\right|=d\times h-e\times g$
    -  Minor entry d
       $\text{Mi}_d=\left|\begin{matrix}b&c\\h&i\end{matrix}\right|=b\times i-c\times h$
    -  Minor entry e
       $\text{Mi}_e=\left|\begin{matrix}a&c\\g&i\end{matrix}\right|=a\times i-c\times g$
    -  Minor entry f
       $\text{Mi}_f=\left|\begin{matrix}a&b\\g&h\end{matrix}\right|=a\times h-b\times g$
    -  Minor entry g
       $\text{Mi}_g=\left|\begin{matrix}b&c\\e&f\end{matrix}\right|=b\times f-c\times e$
    -  Minor entry h
       $\text{Mi}_h=\left|\begin{matrix}a&c\\d&f\end{matrix}\right|=a\times f-c\times d$
    -  Minor entry i
       $\text{Mi}_i=\left|\begin{matrix}a&b\\d&e\end{matrix}\right|=a\times e-b\times d$
2.  Menentukan kofaktor
      $Kofaktor A=\left(\begin{matrix}\text{Mi}_a&-(\text{Mi}_b)&\text{Mi}_c\\-(\text{Mi}_d)&\text{Mi}_e&-(\text{Mi}_f)\\\text{Mi}_g&-(\text{Mi}_h)&\text{Mi}_i\end{matrix}\right)$
3.  Menentukan Adjoin (Adj)
     Adjoin merupakan matriks hasil dari transpose matriks kofaktor.
     $\text{Adj}. A=\left(\begin{matrix}\text{Mi}_a&-(\text{Mi}_d)&\text{Mi}_g \\-(\text{Mi}_b&\text{Mi}_e&-(\text{Mi}_h)\\ \text{Mi}_c&-(\text{Mi}_f)&\text{Mi}_i\end{matrix}\right)$  

Contoh
Diketahui matriks $A=\left(\begin{matrix}2&1&3\\-2&5&8\\7&3&1\end{matrix}\right)$, tentukan invers dari matriks A.
Jawab;
$\left(\begin{matrix}2&1&3\\-2&5&8\\7&3&1\end{matrix}\right)\begin{array}\text{2}&1\\-2&5\\7&3\end{array}$
Determinan matriks A
$|A|=(2\times 5\times 1+1\times 8\times 7+3\times (-2)\times3)-(1\times (-2)\times 1+2\times 8\times 3+3\times 5\times 7)$
    $=(10+56-18)-(-2+48+105)$
    $=(48)-(151)=-103$
Video Determinan Matriks A
Minor Matriks  A
$\text{Minor Matriks A}=\left(\begin{matrix}5\times 1-8\times 3&(-2)\times1-8\times 7&(-2)\times 3-5\times 7\\1\times 1-3\times 3&2\times 1-3\times 7&2\times 3-1\times 7\\1\times 8-3\times 5&2\times 8-3\times (-2)&2\times 5-1\times (-2)\end{matrix}\right)$ 

                $=\left(\begin{matrix}5-24&-2-56&-6-35\\1-9&2-21&6-7\\8-15&16+6&10+2\end{matrix}\right)$

                $=\left(\begin{matrix}-19&-58&-41\\-8&-19&-1\\-7&22&12\end{matrix}\right)$
Video Menentukan Minor Matriks
Kofaktor Matriks A
$\text{Koofaktor Matriks A }=\left(\begin{matrix}-19&-(-58)&-41\\-(-8)&-19&-(-1)\\-7&-(22)&12\end{matrix}\right)$
                   $=\left(\begin{matrix}-19&58&41\\8&-19&1\\-7&-22&12\end{matrix}\right)$
Adjoin Matriks A
$\text{Adj. A }=\left(\begin{matrix}-19&8&-7\\58&-19&-22\\41&1&12\end{matrix}\right)$

Invers Matriks A
$A^{-1}=\frac{1}{103}\left(\begin{matrix}-19&8&-7\\58&-19&-22\\41&1&12\end{matrix}\right)$
          
    $=\left(\begin{matrix}\frac{-19}{103}&\frac{8}{103}&\frac{-7}{103}\\\frac{58}{103}&\frac{-19}{103}&\frac{-22}{103}\\\frac{41}{103}&\frac{1}{103}&\frac{12}{103}\end{matrix}\right)$

Jadi invers dari matriks A yaitu $A^{-1}=\left(\begin{matrix}\frac{-19}{103}&\frac{8}{103}&\frac{-7}{103}\\\frac{58}{103}&\frac{-19}{103}&\frac{-22}{103}\\\frac{41}{103}&\frac{1}{103}&\frac{12}{103}\end{matrix}\right)$

Latihan 
1.  Diketahui matriks $B=\left(\begin{matrix}a&3&2\\-4&1&b\\c&5&6\end{matrix}\right)$, tentukan invers dari matriks B. (ganti a,b c dengan bilangan bulat).
Labels:

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Pecatur A, B, C dan D bertanding dalam suatu turnamen catur, Urutan pemain yang memperoleh nilai tertinggi sampai ke terendah adalah ...

By
  Pecatur A, B, C dan D bertanding dalam suatu turnamen catur. Setiap pemain saling bertemu satu kali. pada setiap pertandingan, pemain yang menang, seri dan kalah, berturut-turut mendapatkan nilai 2, 1, dan 0. Data hasil pertandingan adalah A menang 2 kali, B seri dua kali, C kalah dua kali, dan D tidak pernah seri. Pembahasan; dari tabel setiap pecatur bertanding sebanyak tiga kali; seperti A dengan B, A dengan C dan A dengan D.  *B dua kali seri pastinya B  seri ketika melawan A dan melawan C (karena D tidak pernah seri),  * A menang 2 kali pastinya A menang melawan C dan melawan D ( karena A melawan B seri) *  kalah 2 kali pastinya C kalah melawan A dan melawan D (karena C seri melawan B) B dan D belum ditentukan menang atau kalah nya.   Pertandingan     Menang     seri     kalah                 A dan B         -   B/A     -      A dan C        A    -   C      A dan D       A    -     D      B dan C        -   B/C     -      B dan D      B/D    -   B/D    ?      C dan D        D
Post a Comment
Read more

SOAL AKM TRANSFORMASI MATRIKS

By
 1.   Tata mendapatkan tugas dari Yuliana untuk menentukan besaran translasi yang dilakukannya jika posisi awalnya dititik $(4,2)$ dan posisi akhirnya$(-1,-2)$  berapakah besaran translasinya? Jawab; Pososi Akhir = posisi awal + besaran translasi $\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$ $4+a=-1$ maka $a=-1-4=-5$ $2+b=-2$ maka $b=-2-2=-4$ jadi besaran translasinya $(-5,-4)$ 2.   Persamaan parabola $y=2x^2+6$ ditranslasikan oleh matriks $\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ akan mempunyai bayangan parabola dengan titik puncak …. Jawab; $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ $x+1=x'$ maka $x=x'-1$ .....(1) $y+3=y'$ maka $y=y'-3$ ....(2) substitusi (1) dan (2) ke $y=2^2+6$ menjadi $y'-3=2(x'-1)^2+6$ $y'-3=2(x'^2-2x'+1)+6$ $y'-3=2x'^2-4x'
1 comment
Read more

SOAL AKM MATRIKS

By
  7.   Jawab; a. BENAR B. Salah (seharusnya sama dengan g bukan h) C. Salah (seharusnya kotak silang bukan kotak dua) D. Salah E.  Salah 8.   Jawab; $A_{2\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan)  $B_{2\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom B sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $A_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom A tidak sama dengan banyak baris C (tida dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom C sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $B_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom B tidak sama dengan banyak baris C ( tidak dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan) jadi banyak perkalian yang dapat dilakukan adalah 6 9.   Matriks $L=\left(\begin{matrix}a&b&c\\1&2&3\\d&e&f\end{matrix}\right)$, jika $L^T$ merupakan transpose dari matriks L, ma
Post a Comment
Read more