Persamaan Trigonometri

Materi Prasyarat

Rumus Identitas:

*  $\text{sin}^2(n\alpha)+\text{cos}^2(n\alpha)=1$

    $\text{cos}^2(n\alpha)=1-\text{sin}^2(n\alpha)$

    $\text{sin}^2(n\alpha)=1-\text{cos}^2(n\alpha)$

*  $1+\text{cotan}^2(n\alpha)=\text{cosec}^2(n\alpha)$

     $\text{cotan}^2(n\alpha)=\text{cosec}^2(n\alpha)-1$

*  $\text{tan}^2(n\alpha)+1=\text{sec}^2(n\alpha)$

    $\text{tan}^2(n\alpha)=\text{sec}^2(n\alpha)-1$

Rumus Sudut Rangkap

*  $\text{sin}(2\alpha)=2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha$  atau $\text{sin}(n\alpha)=2\text{sin}\left(\frac{n}{2}\alpha\right)\text{cos}\left(\frac{n}{2}\alpha\right)$

*  $\text{cos}(2\alpha)=\text{cos}^2\alpha-\text{sin}^2\alpha$ atau $\text{cos}(n\alpha)=\text{cos}^2\left(\frac{n}{2}\alpha\right)-\text{sin}^2\left(\frac{n}{2}\alpha\right)$

                    $\text{cos}2\alpha=1-2\text{sin}^2\alpha \text{ atau }\text{cos}n\alpha=1-2\text{sin}^2\left(\frac{n}{2}\alpha\right)$

                    $\text{cos}2\alpha=2\text{cos}^2\alpha-1\text{ atau }\text{cos}(n\alpha)=2\text{cos}^2\left(\frac{n}{2}\alpha\right)-1$

*  $\text{tan}(2\alpha)=\frac{2\text{tan}\alpha}{1-\text{tan}^2\alpha}\text{ atau tan}(n\alpha)=\frac{2\text{tan}\left(\frac{n}{2}\alpha\right)}{1-\text{tan}^2\left(\frac{n}{2}\alpha\right)}$

A.  Rumus $\text{sin}x=\text{sin}\alpha$

     Rumus

     $\text{sin}x=\text{sin}\alpha$

                   $x_1=\alpha+k.360$

                   $x_2=(180-\alpha)+k.360$

    Contoh 1

     Tentukan nilai $\alpha$ dari persamaan trigonometri $2\text{sin}\alpha-\sqrt{3}=0,0^\circ\leq\alpha\leq360^\circ$

     Jawab

     $2\text{sin}\alpha-\sqrt{3}=0$

     $2\text{sin}\alpha=\sqrt{3}$

     $\text{sin}\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$

     $\text{sin}\alpha=\text{sin}60^\circ$

         $\alpha_1=60^\circ+k.360^\circ$ atau $\alpha_2=(180^\circ-60^\circ)+k.360^\circ=120^\circ+k.360$

     -  untuk $k=0$ maka,

         $\alpha_1=60^\circ+(0).360^\circ=60^\circ$  Memenuhi

         $\alpha_2=120^\circ+(0).360^\circ=120^\circ$  Memenuhi

     -  untuk $k=1$ maka,

         $\alpha_1=60^\circ+(1).360^\circ=60^\circ+360^\circ=420^\circ$  Tidak Memenuhi

         $\alpha_2=120^\circ+(1).360^\circ=120^\circ+360^\circ=480^\circ$  Tidak Memenuhi

   

    Jadi nilai $\alpha$ yang memenuhi yaitu $60^\circ \text{ dan }120^\circ$

    Contoh 2

    Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $4\text{ sin}3x+2\sqrt{2}=0,0^\circ\leq x\leq360^\circ$...

    Jawab

    $4\text{ sin}3x+2\sqrt{2}=0$

    $4\text{ sin}3x=-2\sqrt{2}$

    $\text{ sin}3x=-\frac{2}{4}\sqrt{2}$

     $\text{ sin}3x=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$

     $\text{sin}3x=\text{sin}225^\circ$

                $3x_1=225^\circ+k.360^\circ$

                   $x_1=\frac{225^\circ}{3}+\frac{k.360^\circ}{3}=75^\circ+k.120$

                $3x_2=(180^\circ-225^\circ)+k.360^\circ$

                    $x_2=\frac{-45^\circ}{3}+\frac{k.360^\circ}{3}=-15^\circ+k.120^\circ$

     Untuk $k=0$, maka

     $x_1=75^\circ+(0)120^\circ=75^\circ$  Memenuhi

     $x_2=-15^\circ+(0).120^\circ=-15^\circ$  Tidak Memenuhi

     Untuk $k=1$, maka

     $x_1=75^\circ+(1).120^\circ=75^\circ+120^\circ=195^\circ$   Memenuhi

     $x_2=-15^\circ+(1).120^\circ=-15^\circ+120^\circ=105^\circ$  Memenuhi

     Untuk $k=2$, maka

     $x_1=75^\circ+(2).120^\circ=75^\circ+240^\circ=315^\circ$  Memenuhi

     $x_2=-15^\circ+(2).120^\circ=-15^\circ+240^\circ=225^\circ$  Memenuhi

     Untuk $k=3$, maka

     $x_1=75^\circ+(3).120^\circ=75^\circ+360^\circ=435^\circ$  Tidak Memenuhi

     $x_2=-15^\circ+(3).120^\circ=-15^\circ+360^\circ=345^\circ$  Memenuhi.

     Jadi himpunan penyelesaiannya $=\left\{75^\circ, 105^\circ,195^\circ,225^\circ,315^\circ,345^\circ\right\}$ 

 

Latihan 1

1.  Tentukan himpunan penyelesaian dari $6\text{sin} x+3\sqrt{2}=0,0^\circ\leq x\leq 360^\circ$

2.  Tentukan himpunan penyelesaian dari $2\text{sin}4x-\sqrt{3}=0,0^\circ\leq x\leq 360^\circ$

3.  Tentukan himpunan penyelesaian dari $4\text{sin}3x-2=0, 0^\circ\leq x \leq 360^\circ$

B.  Rumus $\text{cos}x=\text{cos}\alpha$

     Rumus

     $\text{sin}x=\text{sin}\alpha$

                   $x_1=\alpha+k.360$

                   $x_2=-\alpha+k.360$

Contoh 3

Tentukan himpinan penyelesaian dari persamaan trigonometri $2\text{ cos}x+1=0,0^\circ\leq x\leq360^\circ$.

Jawab

$2\text{ cos }x+1=0$

$2\text{ cos }x=-1$

$\text{cos }x=-\frac{1}{2}$

$\text{cos }x=\text{cos}120^\circ$

     $x_1=120^\circ+k.360^\circ$

     $x_2=-120^\circ+k.360^\circ$

untuk $k=0$, maka

         $x_1=120^\circ+(0).360^\circ=120^\circ$   (Memenuhi)

         $x_2=-120^\circ+(0).360^\circ=-120^\circ$  (Tidak Memenuhi)

untuk $k=1$, maka

         $x_1=120^\circ+(1).360^\circ=480^\circ$  (Tidak Memenuhi)

         $x_2=-120^\circ+(1).360^\circ=240^\circ$  (Memenuhi)

Jadi $HP=\left\{120^\circ,240^\circ\right\}$

Contoh 4

Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $\sqrt{2}\text{ cos}3x-1=0,0^\circ\leq x\leq270^\circ$.

Jawab

$\sqrt{2}\text{cos}3x-1=0$

$\sqrt{2}\text{cos}3x=1$

$\text{cos}3x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\text{cos}3x=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\text{cos}3x=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\text{cos}3x=\text{cos}45^\circ$

        $3x_1=45^\circ+k.360^\circ$

           $x_1=\frac{45^\circ}{3}+\frac{k.360^\circ}{3}=15^\circ+k.120^\circ$

        $x_2=-45^\circ+k.360^\circ$

           $x_2=-\frac{45}{3}+\frac{k.360^\circ}{3}=-15^\circ+k.120^\circ$

untuk $k=0$, maka

        $x_1=15^\circ+(0).120^\circ=15^\circ$  (Memenuhi)

        $x_2=-15^\circ+(1).120^\circ=-15^\circ$  (Tidak Memenuhi)

untuk $k=1$, maka

       $x_1=15^\circ+(1).120^\circ=15^\circ+120^\circ=135^\circ$  (Memenuhi)

       $x_2=-15^\circ+(1).120^\circ=-15^\circ+120^\circ=105^\circ$  (Memenuhi)

untuk $k=2$, maka

       $x_1=15^\circ+(2).120^\circ=15^\circ+240^\circ=255^\circ$  (Memenuhi)

       $x_2=-15^\circ+(2).120^\circ=-15^\circ+240^\circ=225^\circ$  (Memenuhi)

untuk $k=3$, maka

       $x_1=15^\circ+(3).120^\circ=15^\circ+360^\circ=375^\circ$  (Tidak Memenuhi)

       $x_2=-15^\circ+(3).120^\circ=-15^\circ+360^\circ=345^\circ$  (Tidak Memenuhi)

Jadi $HP=\left\{15^\circ,105^\circ,135^\circ,225^\circ,255^\circ\right\}$

Latihan 2

1.  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $2\text{ cos}x+\sqrt{2}=0,0^\circ\leq x\leq360^\circ$

2.  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $2\sqrt{3}\text{cos}x+3=0,0^\circ\leq x\leq360^\circ$

3.  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $2\text{cos}3x-\sqrt{3}=0,0^\circ\leq x\leq360^\circ$

4.  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $4\sqrt{3}\text{cos}x+6=0,0^\circ\leq x\leq360^\circ$

C.  Rumus $\text{tan}x=\text{tan}\alpha$

     Rumus

     $\text{sin}x=\text{sin}\alpha$ maka$x=\alpha+k.180^\circ$

Contoh 5

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $\sqrt{3}\text{tan}x-1=0,0^\circ\leq x\leq360^\circ$

Jawab

$\sqrt{3}\text{tan}x-1=0$

$\sqrt{3}\text{tan}x=1$

$\text{tan}x=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\text{tan}x=\frac{1}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\text{tan}x=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

$\text{tan}x=\text{tan}30^\circ$

       $x=30^\circ+k.180^\circ$

untuk $k=0$, maka

          $x=30^\circ+(0).180^\circ=30^\circ$  (Memenuhi)

untuk $k=1$, maka

         $x=30^\circ+(1).180^\circ=210^\circ$  (Memenuhi)

untuk $k=2$, maka

         $x=30^circ+(2).180^\circ=30^\circ+360^\circ=390^\circ$  (Tidak Memenuhi)

Jadi $HP=\left\{30^\circ,210^\circ\right\}$

Contoh 6

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $3\text{tan}3x+3\sqrt{3}=0, 0^\circ\leq x\leq180^\circ$

Jawab

$3\text{tan}3x+3\sqrt{3}=0$

$3\text{tan}3x=-3\sqrt{3}$

$\text{tan}3x=-\frac{3\sqrt{3}}{3}$

$\text{tan}3x=-\sqrt{3}$

$\text{tan}3x=\text{tan}150^\circ$

       $3x=150^\circ+k.180^\circ$

       $x=\frac{150^\circ}{3}+\frac{k.180^\circ}{3}=50^\circ+k.60^\circ$

Untuk $k=0$, maka 

$x=50^\circ+(0).60^\circ=50^\circ$  (Memenuhi)

untuk $k=1$, maka

$x=50^\circ+(1).60^\circ=50^\circ+60^\circ=110^\circ$  (Memenuhi)

untuk $k=2$, maka 

$x=50^\circ+(2).60^\circ=50^\circ+120^\circ=170^\circ$  (Memenuhi)

untuk $k=3$, maka

$x=50^\circ+(3).60^\circ=50^\circ+180^\circ=230^\circ$  (Tidak Memenuhi)

Jadi $HP=\left\{50^\circ,110^\circ,170^\circ\right\}$

Latihan 3

1.  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri dari,

     a.  $\text{tan}x-\sqrt{3}=0, 0^\circ\leq x\leq360^\circ$

     b.  $3\text{tan}x+\sqrt{3}=0,0^\circ\leq x\leq360^\circ$

2.  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri dari,

     a.  $\text{tan}5x-1=0,0^\circ\leq x\leq180^\circ$

     b.  $6\sqrt{3}\text{tan}2x-6=0,0^\circ\leq x\leq270^\circ$

       

D.  Persamaan Trigonometri Berbentuk Persamaan Kuadrat

      Bentuk persamaan kuadrat,

      $A\text{sin}^2x+B\text{sin}x+C=0$

      $A\text{cos}^2x+B\text{cos}x+C=0$

      $A\text{tan}^2x+B\text{tan}x+C=0$

      $A\text{csc}^2x+B\text{csc}x+C=0$

      $A\text{sec}^2x+B\text{sec}x+C=0$

      $A\text{cotan}^2x+B\text{cotan}x+C=0$

Contoh 7

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $2\text{sin}^23x+\text{sin}3x-1=0,0^\circ\leq x\leq180^\circ$.

Jawab

$2\text{sin}^23x+\text{sin}3x-1=0$

$(2\text{sin}3x-1)(\text{sin}3x+1)=0$

$2\text{sin}3x-1=0\text{  atau  }\text{sin}3x+1=0$

$2\text{sin}3x=1\text{                 atau  }\text{sin}3x=-1$

$\text{sin}3x=\frac{1}{2}\text{                 atau  }\text{sin}3x=\text{sin}270^\circ$

$\text{sin}3x=\text{sin}30^\circ\text{          atau  }\text{sin}3x=\text{sin}270^\circ$

untuk $\text{sin}3x=\text{sin}30^\circ$

$3x_1=30^\circ+k.360^\circ$ maka $x_1=\frac{30^\circ}{3}+\frac{k.360^\circ}{3}=10^\circ+k.120^\circ$

$3x_2=(180^\circ-30^\circ)+k.360^\circ$ maka $x_2=\frac{150^\circ}{3}+\frac{k.360^\circ}{3}=50^\circ+k.120^\circ$

untuk $\text{sin}3x=\text{sin}270^\circ$

$3x_3=270^\circ+k.360^\circ$ maka $x_3=\frac{270^\circ}{3}+\frac{k.360^\circ}{3}=90^\circ+k.120^\circ$

$3x_4=(180^\circ-270^\circ)+k.360^\circ$ maka $x_4=\frac{-90^\circ}{3}+\frac{k.360^\circ}{3}=-30^\circ+k.120^\circ$

Ganti $k=0$, maka

$x_1=10^\circ+(0).120^\circ=10^\circ$  (memenuhi)

$x_2=50^\circ+(0).120^\circ=50^\circ$  (memenuhi)

$x_3=90^\circ+(0).120^\circ=90^\circ$ (memenuhi)

$x_4=-30^\circ+(0).120^\circ=-30^\circ$ (tidak memenuhi)

Ganti $k=1$

$x_1=10^\circ+(1).120^\circ=10^\circ+120^\circ=130^\circ$  (memenuhi)

$x_2=50^\circ+(1).120^\circ=50^\circ120^\circ=170^\circ$  (memenuhi)

$x_3=90^\circ+(1).120^\circ=90^\circ+120^\circ=210^\circ$ (Tidak memenuhi)

$x_4=-30^\circ+(1).120^\circ=-30^\circ+120^\circ=90^\circ$ (memenuhi)

Ganti $k=2$

$x_1=10^\circ+(2).120^\circ=10^\circ+240^\circ=250^\circ$  (Tidak memenuhi)

$x_2=50^\circ+(2).120^\circ=50^\circ+240^\circ=290^\circ$  (Tidak memenuhi)

$x_3=90^\circ+(2).120^\circ=90^\circ+240^\circ=330^\circ$ (Tidak memenuhi)

$x_4=-30^\circ+(2).120^\circ=-30^\circ+240^\circ=210^\circ$ (Tidak memenuhi)

Jadi $HP=\left\{10^\circ,50^\circ,90^\circ,130^\circ,170^\circ\right\}$

Latihan 4

1.  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $2\text{cos}^2x+11\text{cos}x-6=0,0^\circ\leq x\leq360^\circ$

2.  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $2\text{sin}^22x-5\text{sin}2x+2=0,0^\circ\leq x\leq 360^\circ$