Skip to main content

Teorema Sisa dan Teorema Faktor

By

TEOREMA SISA

Jika fungsi $f(x)$ dibagi oleh $ax+b$, maka $f(\frac{-b}{a})=\text{sisa}$

Penting
Jika pembagi berderajat m, maka sisa pembagian paling tinggi berderajat $m-1$.

Contoh 7

Diketahui suku banyak $f(x)=3x^4-2x^3+5x^2-7x+9$ dibagi dengan $3x+2$, tentukan sisa pembagiannya.

Jawab;

$\text{sisa }=f(\frac{-2}{3})$

$f(\frac{-2}{3})=3\left(\frac{-2}{3}\right)^4-2\left(\frac{-2}{3}\right)^3+5\left(\frac{-2}{3}\right)^2-7\left(\frac{-2}{3}\right)+9$

$\text{sisa }=3\left(\frac{16}{81}\right)-2\left(\frac{-8}{27}\right)+5\left(\frac{4}{9}\right)-7\left(\frac{-2}{3}\right)+9$

         $=\frac{16}{27}+\frac{16}{27}+\frac{20}{9}+\frac{14}{3}+9$

         $=\frac{16}{27}+\frac{16}{27}+\frac{20\times 3}{9\times 3}+\frac{14\times 9}{3\times 9}+9$

         $= \frac{16}{27}+\frac{16}{27}+\frac{60}{27}+\frac{126}{27}+9$

         $=\frac{158}{27}+9$

         $=5+\frac{23}{25}+9$

         $=14+\frac{23}{25}=14\frac{23}{25}=\frac{373}{25}$

jadi sisa pembagiannya adalah $\frac{473}{25}$ atau bentuk lainnya $14\frac{23}{25}$.

Latihan 7

1.  Diketahui suku banyak $f(x)=2x^3-4x^2+7x-9$ dibagi dengan $2x-3$, tentukan sisa pembagiannya.

2.  Diketahui suku banyak $f(x)=x^5+4x^3-3x^2+2x+1$ dibagi dengan $3x+4$, tentukan sisa pembagiannya.


Contoh 8

Diketahui fungsi $f(x)=3x^5+4x^3-5x^2+6x-7$ dibagi dengan $x^2-x-2$, Tentukan sisa dari pembagian tersebut.

Jawab

Pembaginya $x^2-x-2$ berderajat 2,maka sisa paling tinggi berderajat 1, sisa berbentuk $px+q$

$6x^2-13x-5$ difaktorkan menjadi $(x+1)(x-2)$

untuk pembagi; $x+1$

$\text{sisa }=f(-1)$

$p(-1)+q=f(-1)$

$-p+q=3(-1)^5+4(-1)^3-5(-1)^2+6(-1)-7$

$-p+q=-3-4-5-6-7$

$-p+q=-25$...........(1)

untuk pembagi; $x-2$

$\text{sisa }=f(2)$

$p(2)+q=3(2)^5+4(2)^3-5(2)^2+6(2)-7$

$2p+q=3(32)+4(8)-5(4)+6(2)-7$

$2p+q=96+32-20+12-7$

$2p+q=113$ ..........(2)

Eliminasi q pada (1) dan (2)

$-p+q=-25$

$2p+q=113$ 

__________ $-$

$-3p=-138$

$p=\frac{-138}{-3}=46$

Subtitusi $p=46$ pada (1)

$-46+q=-25$

$q=-25+46=21$

jadi sisa nya $46x+21$

Latian 8
1.  Diketahui fungsi $f(x)=x^4+3x^3+2x^2+4x-1$ dibagi dengan $x^2-4x+3$, Tentukan sisa dari pembagian tersebut.
2.  Diketahui fungsi $f(x)=4x^3-5x^2+2x+1$ dibagi dengan $x^2-4$, Tentukan sisa dari pembagian tersebut.

Contoh 9

Diketahui $f(x)$ dibagi $x+1$ memiliki sisa 7 dan dibagi dengan $x+2$ memiliki sisa 17, tentukan sisa pembagian $f(x)$ dibagi dengan $x^2+3x+2$

Jawab
Pembagi berderajat dua $x^2+3x+2$ maka sisa nya akan berderajat 1, sehingga sisa berbentuk $px+q$
Pembagi $x^2+3x+2$ dapat difaktorkan menjadi $(x+2)(x+1)$

untuk pembagi $x+2$ maka $\text{sisa}=f(-2)$
$p(-2)+q=17$
$-2p+q=17$........ (1)
Untuk pembagi $x+1$ maka $\text{sisa }=f(-1)$
$p(-1)+q=7$
$-p+q=7$  ........... (2)

Eiminasi q pada (1) dan (2)
$-2p+q=17$
$-p+q  =  7$
___________  $-$
$-p=10$
$p=-10$

Subtitusi $p=-10$ pada (1)
$-2(-10)+q=17$
$20+q=17$
$q=17-20=-3$

Jadi sisa $-10x-3$

Latihan 9
1.  Diketahui $f(x)$ dibagi $x-2$ memiliki sisa 5 dan dibagi dengan $x-3$ memiliki sisa 8, tentukan sisa pembagian $f(x)$ dibagi dengan $x^2-5x+6$
2. Diketahui $f(x)$ dibagi $2x-1$ memiliki sisa 4 dan dibagi dengan $x+1$ memiliki sisa 7, tentukan sisa pembagian $f(x)$ dibagi dengan $2x^2+x-1$

TEOREMA FAKTOR

$f(x)$  merupakan polinomial, $ax+b$ merupakan faktor dari $f(x)$ jika dan hanya jika $f(-\frac{b}{a})=0$

Contoh 10
Apakah $x-1$ merupakan faktor dari $f(x)=x^{2024}-1$ ....
Jawab
$f(1)=1^{2024}-1$
$f(1)=1-1=0$
karena $f(1)=0$, maka $x-1$ merupakan faktor dari $f(x)=x^{2024}-1$



Labels:

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Pecatur A, B, C dan D bertanding dalam suatu turnamen catur, Urutan pemain yang memperoleh nilai tertinggi sampai ke terendah adalah ...

By
  Pecatur A, B, C dan D bertanding dalam suatu turnamen catur. Setiap pemain saling bertemu satu kali. pada setiap pertandingan, pemain yang menang, seri dan kalah, berturut-turut mendapatkan nilai 2, 1, dan 0. Data hasil pertandingan adalah A menang 2 kali, B seri dua kali, C kalah dua kali, dan D tidak pernah seri. Pembahasan; dari tabel setiap pecatur bertanding sebanyak tiga kali; seperti A dengan B, A dengan C dan A dengan D.  *B dua kali seri pastinya B  seri ketika melawan A dan melawan C (karena D tidak pernah seri),  * A menang 2 kali pastinya A menang melawan C dan melawan D ( karena A melawan B seri) *  kalah 2 kali pastinya C kalah melawan A dan melawan D (karena C seri melawan B) B dan D belum ditentukan menang atau kalah nya.   Pertandingan     Menang     seri     kalah                 A dan B         -   B/A     -      A dan C        A    -   C      A dan D       A    -     D      B dan C        -   B/C     -      B dan D      B/D    -   B/D    ?      C dan D        D
Post a Comment
Read more

SOAL AKM TRANSFORMASI MATRIKS

By
 1.   Tata mendapatkan tugas dari Yuliana untuk menentukan besaran translasi yang dilakukannya jika posisi awalnya dititik $(4,2)$ dan posisi akhirnya$(-1,-2)$  berapakah besaran translasinya? Jawab; Pososi Akhir = posisi awal + besaran translasi $\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$ $4+a=-1$ maka $a=-1-4=-5$ $2+b=-2$ maka $b=-2-2=-4$ jadi besaran translasinya $(-5,-4)$ 2.   Persamaan parabola $y=2x^2+6$ ditranslasikan oleh matriks $\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ akan mempunyai bayangan parabola dengan titik puncak …. Jawab; $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ $x+1=x'$ maka $x=x'-1$ .....(1) $y+3=y'$ maka $y=y'-3$ ....(2) substitusi (1) dan (2) ke $y=2^2+6$ menjadi $y'-3=2(x'-1)^2+6$ $y'-3=2(x'^2-2x'+1)+6$ $y'-3=2x'^2-4x'
1 comment
Read more

SOAL AKM MATRIKS

By
  7.   Jawab; a. BENAR B. Salah (seharusnya sama dengan g bukan h) C. Salah (seharusnya kotak silang bukan kotak dua) D. Salah E.  Salah 8.   Jawab; $A_{2\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan)  $B_{2\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom B sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $A_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom A tidak sama dengan banyak baris C (tida dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom C sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $B_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom B tidak sama dengan banyak baris C ( tidak dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan) jadi banyak perkalian yang dapat dilakukan adalah 6 9.   Matriks $L=\left(\begin{matrix}a&b&c\\1&2&3\\d&e&f\end{matrix}\right)$, jika $L^T$ merupakan transpose dari matriks L, ma
Post a Comment
Read more