Teorema Sisa dan Teorema Faktor

TEOREMA SISA

Jika fungsi $f(x)$ dibagi oleh $ax+b$, maka $f(\frac{-b}{a})=\text{sisa}$

Penting
Jika pembagi berderajat m, maka sisa pembagian paling tinggi berderajat $m-1$.

Contoh 7

Diketahui suku banyak $f(x)=3x^4-2x^3+5x^2-7x+9$ dibagi dengan $3x+2$, tentukan sisa pembagiannya.

Jawab;

$\text{sisa }=f(\frac{-2}{3})$

$f(\frac{-2}{3})=3\left(\frac{-2}{3}\right)^4-2\left(\frac{-2}{3}\right)^3+5\left(\frac{-2}{3}\right)^2-7\left(\frac{-2}{3}\right)+9$

$\text{sisa }=3\left(\frac{16}{81}\right)-2\left(\frac{-8}{27}\right)+5\left(\frac{4}{9}\right)-7\left(\frac{-2}{3}\right)+9$

         $=\frac{16}{27}+\frac{16}{27}+\frac{20}{9}+\frac{14}{3}+9$

         $=\frac{16}{27}+\frac{16}{27}+\frac{20\times 3}{9\times 3}+\frac{14\times 9}{3\times 9}+9$

         $= \frac{16}{27}+\frac{16}{27}+\frac{60}{27}+\frac{126}{27}+9$

         $=\frac{158}{27}+9$

         $=5+\frac{23}{25}+9$

         $=14+\frac{23}{25}=14\frac{23}{25}=\frac{373}{25}$

jadi sisa pembagiannya adalah $\frac{473}{25}$ atau bentuk lainnya $14\frac{23}{25}$.

Latihan 7

1.  Diketahui suku banyak $f(x)=2x^3-4x^2+7x-9$ dibagi dengan $2x-3$, tentukan sisa pembagiannya.

2.  Diketahui suku banyak $f(x)=x^5+4x^3-3x^2+2x+1$ dibagi dengan $3x+4$, tentukan sisa pembagiannya.

Contoh 8

Diketahui fungsi $f(x)=3x^5+4x^3-5x^2+6x-7$ dibagi dengan $x^2-x-2$, Tentukan sisa dari pembagian tersebut.

Jawab

Pembaginya $x^2-x-2$ berderajat 2,maka sisa paling tinggi berderajat 1, sisa berbentuk $px+q$

$6x^2-13x-5$ difaktorkan menjadi $(x+1)(x-2)$

untuk pembagi; $x+1$

$\text{sisa }=f(-1)$

$p(-1)+q=f(-1)$

$-p+q=3(-1)^5+4(-1)^3-5(-1)^2+6(-1)-7$

$-p+q=-3-4-5-6-7$

$-p+q=-25$...........(1)

untuk pembagi; $x-2$

$\text{sisa }=f(2)$

$p(2)+q=3(2)^5+4(2)^3-5(2)^2+6(2)-7$

$2p+q=3(32)+4(8)-5(4)+6(2)-7$

$2p+q=96+32-20+12-7$

$2p+q=113$ ..........(2)

Eliminasi q pada (1) dan (2)

$-p+q=-25$

$2p+q=113$ 

__________ $-$

$-3p=-138$

$p=\frac{-138}{-3}=46$

Subtitusi $p=46$ pada (1)

$-46+q=-25$

$q=-25+46=21$

jadi sisa nya $46x+21$

Latian 8

1.  Diketahui fungsi $f(x)=x^4+3x^3+2x^2+4x-1$ dibagi dengan $x^2-4x+3$, Tentukan sisa dari pembagian tersebut.

2.  Diketahui fungsi $f(x)=4x^3-5x^2+2x+1$ dibagi dengan $x^2-4$, Tentukan sisa dari pembagian tersebut.

Contoh 9

Diketahui $f(x)$ dibagi $x+1$ memiliki sisa 7 dan dibagi dengan $x+2$ memiliki sisa 17, tentukan sisa pembagian $f(x)$ dibagi dengan $x^2+3x+2$

Jawab

Pembagi berderajat dua $x^2+3x+2$ maka sisa nya akan berderajat 1, sehingga sisa berbentuk $px+q$

Pembagi $x^2+3x+2$ dapat difaktorkan menjadi $(x+2)(x+1)$

untuk pembagi $x+2$ maka $\text{sisa}=f(-2)$

$p(-2)+q=17$

$-2p+q=17$........ (1)

Untuk pembagi $x+1$ maka $\text{sisa }=f(-1)$

$p(-1)+q=7$

$-p+q=7$  ........... (2)

Eiminasi q pada (1) dan (2)

$-2p+q=17$

$-p+q  =  7$

___________  $-$

$-p=10$

$p=-10$

Subtitusi $p=-10$ pada (1)

$-2(-10)+q=17$

$20+q=17$

$q=17-20=-3$

Jadi sisa $-10x-3$

Latihan 9

1.  Diketahui $f(x)$ dibagi $x-2$ memiliki sisa 5 dan dibagi dengan $x-3$ memiliki sisa 8, tentukan sisa pembagian $f(x)$ dibagi dengan $x^2-5x+6$

2. Diketahui $f(x)$ dibagi $2x-1$ memiliki sisa 4 dan dibagi dengan $x+1$ memiliki sisa 7, tentukan sisa pembagian $f(x)$ dibagi dengan $2x^2+x-1$

TEOREMA FAKTOR

$f(x)$  merupakan polinomial, $ax+b$ merupakan faktor dari $f(x)$ jika dan hanya jika $f(-\frac{b}{a})=0$

Contoh 10

Apakah $x-1$ merupakan faktor dari $f(x)=x^{2024}-1$ ....

Jawab

$f(1)=1^{2024}-1$

$f(1)=1-1=0$

karena $f(1)=0$, maka $x-1$ merupakan faktor dari $f(x)=x^{2024}-1$