BILANGAN BERPANGKAT

 A.  Definisi Bilangan Berpangkat

          $2^4$ dibaca dua pangkat empat

          $2^4$ artinya $2\times2\times2\times2$, Jadi $2^4=16$

          $3^5$ artinya $3\times3\times3\times3\times3$, jadi $3^5=243$

          Contoh 1

          Ubahlah bilangan berpangkat $2^6$ dalam bentu perkalian dan tentukan hasil perkaiannya.

          Jawab

          $2^6=2\times2\times2\times2\times2\times2$  (dalam bentuk perkalian)

          $2^6=64$

          Latihan 1

          Ubahlah bilan berpangkat berikut dalam bentuk perkalian dan tentukan hasil perkaliannya.

          1)  $3^4$

          2)  $5^3$

          3)  $2^8$

B.  Sifat Sifat Bilangan Berpangkat

         $2^5,dua merupakan biangan pokok (basis) dan lima merupakan bilangan pangkat (eksponen).

    1.  Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

          Contoh 2

          Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat $5^7\times5^8$

          Jawab

          $5^7=5\times5\times5\times5\times5\times5\times5$

          $5^8=5\times5\times5\times5\times5\times5\times5\times5$

          Sehingga, $5^7\times5^8=5\times5\times5\times5\times5\times5\times5\times5\times5\times5\times5\times5\times5\times5\times5=5^{15}$

          Contoh 3

          Sederhanakan bentuk perkaian bilangan berpangkat $2^4\times 2^6$

          Jawab

          $2^4=2\times2\times ...\times...$

          $2^6= ..........................................................$

          Sehingga $2^4\times2^6=........................................................................=2^{.....}$

Mari Berpikir

Hasil dari Contoh 2:  $5^7\times5^8=5^15$

Hasil dari contoh 3:  $2^4\times2^6=2^{.......}$

Bentuk sederhana dari $2^{2007}\times2^{16}=2^{.......}$

Jadi, $a^m\times a^n=a^{..............}$ (SIFAT PERKALIAN)

          Contoh 4

          Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat $2^{2024}\times 2^{2025}$ ....

          Jawab

          $2^{2024}\times2^{2025}=2^{2024+2025}$

                                  $=2^{4049}$

           Jadi $2^{2024}\times2^{2025}=2^{4049}$

          Contoh 5

          Sederhanakan bentuk perkalian berpangkat $2^6\times3^9\times2^{17}\times3^{-4}$ ....

          Jawab

          $2^6\times3^9\times2^{17}\times3^{-4}=2^{6+17}\times3^{9+(-4)}$

                                                $=2^{23}\times3^5$

          Jadi bentuk sederhana dari $2^6\times3^9\times2^{17}\times3^{-4}=2^{23}\times3^5$

           Latihan 2

          Sederhanakan bentuk perkalian bilangan berpangkat berikut.

          1)  $3^{67}\times3^{76}=....$

          2)  $5^{18}\times7^{-2}\times 5^{96}\times7^6=....$

          3)  $2^6\times3^7\times2^{-4}\times3^{-5}=....$

    2.  Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

          Contoh 6

          Sederhanakan bentuk pembagian bilangan berpangkat$\frac{3^9}{3^4}$.

          Jawab

          $3^9=3\times3\times3\times3\times3\times3\times3\times3\times3$

          $3^4=3\times3\times3\times3$

          sehingga, $\frac{3^9}{3^4}=\frac{3\times3\times3\times3\times3\times3\times3\times3\times3}{3\times3\times3\times3}$

                                 $=3^5$

          Contoh 7

          Sederhanakan bentuk pembagian bilangan berpangkat $\frac{5^{11}}{5^4}$

          Jawab

          $5^{11}=5\times5\times ...\times...\times...\times...\times...\times...\times...\times...\times...$

          $5^4=....\times...\times...\times...$

          Sehingga, $\frac{5^{11}}{4}=\frac{...\times...\times...\times...\times...\times...\times...\times...\times...\times...\times...}{...\times...\times...\times...}=......$

Mari Berpikir

Hasil dari contoh 5:  $\frac{3^9}{3^4}=3^4$

Hasil dari contoh 6:  $\frac{5^{11}}{5^4}=5^{.....}$

Bentuk sederhana dari $\frac{2^{27}}{2^8}=2^{........}$

Jadi, $\frac{a^m}{a^n}=a^{...................}$   (SIFAT PEMBAGIAN)

 

          Contoh 8

          Sederhanakan pembagian bilangan berpangkat $\frac{2^7\times3^5}{2\times{-3}\times3^2}$

          Jawab

          $\frac{2^7\times3^5}{2^{-3}\times3^2}=2^{7-(-3)}\times3^{5-2}$

                       $=2^{10}\times3^2$

          Jadi, $\frac{2^7\times3^5}{2^{-3}\times3^2}=2^{10}\times3^2$

      

          Latihan 3

          1. Sederhanakan pembagian bilangan berpangkat $\frac{2^8\times3^9}{2^3\times3^{-4}}$.

          2. Sederhanakan pembagian bilangan berpangkat $\frac{2^{-10}\times5^a}{2^{-13}\times5^b}$ dimana, $a$ merupakan tanggal lahir, dan $b$ merupakan bulan lahir.

    3.  Sifat Bilangan Berpangkat 0

          Contoh 9

          Sederhanakan pembagian bilangan berpangkat $\frac{2^6}{2^6}$ dan tentukan nilainya.

          Jawab

          $\frac{2^6}{2^6}=\frac{2\times2\times2\times2\times2\times2}{2\times2\times2\times2\times2\times2}=1$

          Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat, $\frac{2^6}{2^6}=2^{6-6}=2^0$

          Sehingga $2^0=1$.

        

          Contoh 10

          Sederhanakan pembagian bilangan berpangkat $\frac{3^{11}}{3^{11}}$ dan tentukan nilainya.

          Jawab

          $\frac{3^{8}}{3^{8}}=\frac{....\times....\times....\times....\times....\times....\times....\times....}{....\times....\times....\times....\times....\times....\times....\times....}=.........$

          Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat $\frac{3^{11}}{3^{11}}=3^{....-....}=3^{...}$

          sehingga $3^{...}=...$

Mari Berpikir

Hasil dari contoh 10:  $\frac{2^6}{2^6}=2^0=1$

Hasi dari contoh 11:  $\frac{3^{11}}{3^{11}}=3^{...}=...$

nilai dari $5^0=...$

Jadi, $a^0=...$  (SIFAT BILANGAN BERPANGKAT NOL)

    4.  Sifat Bilangan Bilangan Negatif

          Contoh 12

          Ubahlah bilangan berpangkat negatif $3^{-4}$ menjadi pangkat positif dan tentukan nilainya.

          Jawab

          $3^{-4}=\frac{1}{3^4}$

                  $=\frac{1}{81}$

          Jadi, pangkat positif dari $3^{-4}$ adalah $\frac{1}{3^4}$ dan nilainya $\frac{1}{81}$

          Contoh 13

          Ubahlah bilangan berpangkat negatif $2^{-8}$ menjadi pangat positif dan tentukan nilainya.

          Jawab

          $2^{-8}=\frac{1}{2^{...}}$

                  $=\frac{1}{.....}$

         Jadi, pangkat positif dari $2^{-8}$ adalah ... dan nilainya ...

          Contoh 14

          Ubahlah bilangan berpangkat negatif $\frac{1}{3^{-2}}$ menjadi pangkat positif dan tentukan nilainya.

          Jawab

          $\frac{1}{3^{-2}}=\frac{1}{\frac{1}{3^2}}$

                  $=3^2$

                  $=9$

          Jadi, pangkat positif dari $\frac{1}{3^{-2}}$ adalah $3^2$ dan nilainya $9$

          Contoh 15

          Ubahlah bilangan berpangkat negatif $\frac{1}{2^{-5}}$ menjadi pangkat positif dan tentukan nilainya.

          Jawab

          $\frac{1}{2^{-5}}=\frac{1}{\frac{1}{2^{...}}}$

                  $= 2^{...}$

                  $= ... $

         Jadi, pangkat positif dari $\frac{1}{2^{-5}}$ adalah .... dan niainya ...

Mari Berpikir

Hasil dari contoh 12: $3^{-4}=\frac{1}{3^4}$ dan hasil contoh 13:  $2^{-8}=\frac{1}{2^{...}}$, 

Bentuk sederhana dari $5^{-3}=...$

Jadi, $a^{-m}=\frac{1}{a^{...}}$ (SIFAT BILANGAN BERPANGKAT NEGATIF)

Hasil dari contoh 14: $\frac{1}{3^{-2}}=...$ dan hasil contoh 15: $\frac{1}{2^{-5}}=...$

Bentuk sederhana dari $\frac{1}{5^{-3}}=...$

Jadi, $\frac{1}{a^m}=...$ (SIFAT BILANG BERPANGKAT NEGATIF)

          

          Contoh 16

          Sederhanakan bilangan berpangkat $\frac{2^3\times3^4\times5^6}{2^6\times3^4\times5^{-3}}$ dan ubahlah menjadi bilangan berpangkat positif.

          Jawab

          $\frac{2^3\times3^4\times5^6}{2^6\times3^4\times^{-3}}=2^{3-6}\times3^{4-4}\times5^{6-{-3}}$

                           $=2^{-3}\times3^0\times5^9$

                           $=\frac{1}{2^3}\times 1\times 5^9$

                           $=\frac{5^9}{2^3}$

          Contoh 17

          Ubahlah bilangan berpangkat negatif $\frac{2^{-3}\times5^{-2}}{3^{-4}}$ menjadi bilangan berpangkat positif dan tentukan nilainya.

          Jawab

          $\frac{2^{-3}\times5^{-2}}{3^{-4}}=\frac{\frac{1}{2^3}\times\frac{1}{5^2}}{\frac{1}{3^4}}$

                         $=\frac{\frac{1}{2^3\times5^2}}{\frac{1}{3^4}}$

                         $=\frac{3^4}{2^4\times5^2}$

                         $=\frac{81}{16\times25}$

                         $=\frac{81}{400}$

        Latihan 4

        1.  Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat $\frac{2^6\times3^{-5}\times5^2}{2^3\times3^{-2}\times5^2}$.

        2.  Sederhanakanbentuk bilangan berpangkat $\frac{3^2\times5^6}{3^a\times5^8}$ 

             (dimana ganti $a$ dengan jumlah bersaudaramu).

        3.  Ubahlah menjadi bilangan berpangkat positif

             a.  $\frac{3^{-2}\times2^{-3}}{5^{-4}}$ 

             b.  $\frac{a^{-6}}{b^{-3}\times c^2}$

 5.  Sifat Bilangan Bilangan Berpangkat yang Berpangkat

        Contoh 18

        Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat $\left(2^3\right)^4$.

        Jawab

        $\left(2^3\right)^4=2^3\times2^3\times2^3\times2^3$

                    $=2^{3+3+3+3}$

                    $=2^{12}$

        Jadi bentuk sederhana dari bilangan berpangkat $\left(2^3\right)^4=2^{12}$

                Contoh 19

        Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat $\left(5^6\right)^8$.

        Jawab

        $\left(5^6\right)^8=5^6\times....\times....\times....\times....\times....\times....\times....$

                   $=5^{6+...+...+...+...+...+...+...+...}$

                   $=5^{.....}$

        Jadi bentuk sederhana dari bilangan berpangkat $\left(5^6\right)^8$  adalah ...

Mari Berpikir

Hasil dari contoh 18:  $\left(2^3\right)^4=2^{12}$

Hasil dari contoh 19:  $\left(5^6\right)^8=5^{...}$

Bentuk sederhana dari $\left(2^{2012}\right)^2=2^{......}$

Jadi, $\left(a^m\right)^n=a^{......}$  (SIFAT BILANGAN BERPANGKAT YANG BERPANGKAT)

         Contoh 20

          Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat $\left(72\right)^5$ dengan berbasis bilangan prima.

          Jawab

          $\left(72\right)^5=\left(2\times2\times2\times3\times3\right)^7$

                     $=\left(2^3\times3^2\right)^7$

                     $=2^{3\times5}\times3^{2\times5}$

                     $=2^{15}\times3^{10}$

          jadi, $\left(72\right)^5$ dapat di ubah menjadi berbasis prima $2^{15}\times3^{10}$

          Contoh 21

          Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat $\left(12\right)^6$ menjadi berbasis bilangan prima.

          Jawab

          $\left(100\right)^6=\left(2\times...\times...\times...\right)^6$

                      $=\left(2^{...}\times...^{...}\right)^6$

                      $=2^{...\times 6}\times...^{...\times...}$

                      $=2^{...}\times...^{...}$

          Jadi, $(100)^6=2^{...}\times...^{...}$

          Contoh 22

          Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat $\left(\frac{27}{16}\right)^5$ menjadi basis bilangan prima.

          Jawab

          $\left(\frac{27}{16}\right)^5=\left(\frac{3\times3\times3}{2\times2\times2\times2}\right)^5$

                     $=\left(\frac{3^3}{2^4}\right)^5$

                     $=\frac{3^{3\times5}}{2^{4\times5}}$

                     $=\frac{3^{15}}{2^{20}}$

          Jadi, $\left(\frac{27}{16}\right)^5=\frac{3^{15}}{2^{20}}$

          Contoh 23

          Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat $\left(\frac{64}{81}\right)^7$ menjadi basis bilangan prima.

         Jawab

         $\left(\frac{64}{81}\right)^7=\left(\frac{...\times...\times...\times...\times...\times...}{...\times...\times...\times...}\right)^7$

                     $=\left(\frac{...^{^{...}}}{...^{^{...}}}\right)^7$

                     $=\frac{...^{^{...\times...}}}{...^{^{...\times...}}}$

                     $=\frac{...^{...}}{...^{...}}$

Mari Berpikir

Hasil dari contoh 20: $(72)^5=2^{15}\times3^{20}$ dan Hasil dari contoh 21:  $(100)^6=...^{...}\times...^{...}$

Bentuk sederhana dari $\left(3^4\times5^6\right)^7=3^{4\times...}\times5^{6\times...}=3^{...}\times5^{...}$

Jadi, $(a^m\times b^n)^c=a^{m\times...}\times b^{n\times...}$  (SIFAT BILANGAN BERPANGKAT YANG BERPANGKAT)

Hasil dari contoh 22: $\left(\frac{27}{16}\right)^5=\frac{3^{15}}{2^{20}}$ dan hasil dari contoh 23: $\left(\frac{64}{81}\right)^7=\frac{...^{...}}{...^{...}}$

Bentuk sederhana dari $\left(\frac{8}{9}\right)^{1012}=\frac{...^{....}}{...^{...}}$

Jadi, $\left(\frac{a^m}{b^n}\right)^c=\frac{a^{m\times...}}{b^{n\times...}}$  (SIFAT BILANGANBERPANGKAT YANG BERPANGKAT)

          Contoh 24

          Sederhanakan bilangan berpangkat $\left(\frac{2^5\times3^6}{2^4\times3^{10}}\right)^3$.

         Jawab

         $\left(\frac{2^5\times3^6}{2^4\times3^{10}}\right)^3=\left(2^{5-4}\times3^{6-10}\right)^3$

                        $=\left(2^2\times3^{-4}\right)^3$

                        $=2^{2\times3}\times3^{-4\times3}$

                        $=2^6\times3^{-12}$

                        $=2^6\times\frac{1}{3^{12}}$

                        $=\frac{2^6}{3^{12}}$

          Contoh 25

          Sederhanakan bilangan berpangkat $\left(\frac{9^4\times12^3}{27^3\times8^6}\right)^5$ menjadi biangan berpangkat yang memiliki basis bilangan prima.

          Jawab

          $\left(\frac{9^4\times12^3}{27^2\times8^6}\right)^5=\left(\frac{\left(3^2\right)^4\times\left(2^2\times3\right)}{\left(3^3\right)^2\times\left(2^3\right)^6}\right)^5$

                       $=\left(\frac{3^{2\times4}\times2^{2\times3}\times3^{\times3}}{3^{3\times2}\times2^{3\times 6}}\right)^5$

                       $=\left(\frac{3^8\times2^6\times3^3}{3^6\times2^{18}}\right)$

                       $=\left(2^{6-18}\times3^{8+3-6}\right)^5$

                       $=\left(2^{-12}\times3^5\right)^5$

                       $=2^{-12\times5}\times3^{5\times5}$

                       $=2^{-60}\times3^{25}$

                       $=\frac{1}{2^{60}}\times3^{25}$

                       $=\frac{3^{25}}{2^{60}}$

jadi, bentuk sederhana dari $\left(\frac{9^4\times12^3}{27^2\times8^6}\right)^5$ adalah $\frac{3^{25}}{2^{60}}$

          Contoh 26

          Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat $\left(\frac{b^3\times c^6\times d^9}{c^{-3}\times d^{12}}\right)^{-4}$.

          Jawab

          $\left(\frac{b^3\times c^6\times d^9}{c^{-3}\times d^[12}}\right)^{-4}=\left(b^3\times c^{6-(-3)}\times d^{9-12}\right)^{-4}$

                       $=\left(b^3\times c^9\times d^{-3}\right)^{-4}$

                       $=b^{3\times(-4}\times c^{9\times(-4)}\times d^{-3\times(-4)}$

                       $=b^{-12}\times c^{-36}\times d^{12}$

                       $=\frac{1}{b^{12}}\times\frac{1}{c^{36}}\times d^{12}$

                       $=\frac{d^{12}}{b^{12}\times c^{36}}$

          Jadi, bentuk sederhana dari $\left(\frac{b^3\times c^6\times d^9}{c^{-3}\times d^{12}}\right)^{-4}$ adalah $\frac{d^{12}}{b^{12}\times c^{36}}$

          Latihan 5

          1.  Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat berikut menjadi bilangan pangkat yang berbasis bilangan prima.

               a.  $\left(\frac{16^3\times27^2\times12^4}{54^\times32^2}\right)^2=...$

               b.  $\left(\frac{36\times 75^2\times3^4}{100^3\tims9^4}\right)^{-4}=...$

          2.  Sederhanakan bentuk bilangan berpangkat berikut. 

               a.  $\left(\frac{a^5\times b^7}{a^{-2}\times b^3\timesc^2}\right)^{-1}=...$

               b.  $\left(\frac{a^3\times b^7\times c^4}{a^5\times b^{-3}\right)^{-2}=...$