1. Memiliki 3 persamaan linear (berpangkat satu) yang saling keterkaitan.
2. Minimal salah satu persamaan tersusun dari 3 variabel.
Cara menyelesaikan SPLTV secara Umum.
2. Eliminasi lagi satu variabel yang sama dari dua persamaan yang berbeda dari langkah 1 dan beri kode persamaan 5
3. Eliminasi salah satu variabel dari persamaan 4 dan persamaan 5, hasilnya diberi kode dengan persamaan 6
4. Substitusi persamaan 6 ke persamaan 4 atau persamaan 5, hasilnya diberi kode dengan persamaan 7.
5. Substitusi persamaan 6 dan persamaan 7 pada salah satu persamaan pada soal.
Contoh 1
tentukan nilai $xyz$ dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
$\cases{\begin{matrix}x+y-z=-1\\3x+2y+4z=24\\x+3y-2z=-3\end{matrix}}$
Jawab
$\cases{\begin{matrix}x+y-z=-1 ............(1)\\3x+2y+4z=24 ............(2)\\x+3y-2z=-3 ............(3)\end{matrix}}$.
Eliminasi $z$ dari persamaan (1) dan (2)
$x+y-z=-1$ $|\times4| 4x+4y-4z=-4$
$3x+2y+4z=24$ $|\times 1| \underline{3x+2y+4z=24 }$ $+$
$7x+6y=20$ ............(4)
Eliminasi $z$ dari persamaan (1) dan (3)
$x+y-z=-1$ $|\times 2|2x+2y-2z=-2$
$x+3y-2z=-3$ $|\times 1|\underline{x+3y-2z=-3}$ $-$
$x-y=1$ ............(5)
Eliminasi $y$ dari Persamaan (4) dan (5)
$7x+6y=20$ $|\times 1|7x+6y=20$
$x-y=1$ $|\times 6|\underline{6x-6y=6}$ $+$
$13x=26$
$x=\frac{26}{13}=2$ ............(6)
Substitusi Persamaan (6) pada persamaan (5)
$x-y=1$
$2-y=1$
$-y=1-2$
$-y=-1$
$y=1$ ............(7)
Substitusi persamaan (6) dan (7) pada persamaan (1)
$x+y-z=-1$
$2+1-z=-1$
$3-z=-1$
$-z=-1-3$
$-z=-4$
$z=4$
Jadi nilai $x=2, y=1 \text{ dan }z=4$, sehingga nilai $xyz=(2)(1)(4)=8$
Latihan 1
1. Tentukan nilai $(xy)^z$ dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut
$\cases{\begin{matrix}3x-y+2z=9\\x+2y-z=9\\2x+3y+3z=24\end{matrix}}$
2. Tentukan nilai $\left(\frac{x}{y}\right)^z$ dari sistem persamaan linear tiga varibel berikut
$\cases{\begin{matrix}x+y-3z=-1\\2x+3y+z=21\\3x+y-2z=14\end{matrix}}$
Contoh 2
Tentukan nilai dari $\sqrt{xyz}$ dari persamaan linear tiga variabel berikut
$\cases{\begin{matrix}x+y-3z=-5\\2x-3y+2z=9\\4x-2z=6\end{matrix}}$
Jawab
$\cases{\begin{matrix}x+y-3z=-5 ..........(1)\\2x-3y+2z=9 ..........(2)\\4x-2z=6 .........(3)\end{matrix}}$
karena persamaan (3)persamaan dua variabel yaitu $x\text{ dan } z$ maka eliminasi y dari persamaan (1) dan (2)
$x+y-3z=-5$ $|\times3|3x+3y-9z=-15$
$2x-3y+2z=9$ $|\times1|\underline{2x-3y+2z=9}$ $+$
$5x-7z=-6$ ..........(4)
Eliminasi $z$ dari persamaan (3) dan (4)
$4x-2z=6$ $|\times 7|28x-14z=42$
$5x-7z=-6$ $|\times 2|\underline{10x-14z=-12}$ $-$
$18x=54$
$x=\frac{54}{18}=3$ ........(5)
Substitusi persamaan (5) pada persamaan (3)
$4x-2z=6$
$4(3)-2z=6$
$12-2z=6$
$-2z=6-12$
$-2z=-6$
$z=\frac{-6}{-2}=3$ ..........(6)
Substitusi (5) dan (6) pada persamaan (1)
$x+y-3z=-5$
$3+y-3(3)=-5$
$3+y-9=-5$
$y-6=-5$
$y=-5+6=1$
Jadi nilai $x=3, y=1\text{ dan}z=3$ sehingga $\sqrt{xyz}=\sqrt{(3)(1)(3)}=\sqrt{9}=\pm 3$
Latihan 2
1. Tentukan nilai $\sqrt{x+yz}$ dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut
$\cases{\begin{matrix}2x+y-z=4\\3x-2y+z=13\\x-2z=-10\end{matrix}}$
2. Tentukan nilai dari $\sqrt{\frac{xy}{z}}$ dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
$\cases{\begin{matrix}x-y+z=-2\\2x+3y=32\\3x+2y-5z=18\end{matrix}}$
Contoh 3
Tentukan nilai dari $\frac{1}{xyz}$ dari sistem persamaan berikut.
$\cases{\begin{matrix}\frac{4}{x}+\frac{1}{y}+\frac{10}{z}=8\\ \frac{3}{x}+\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=3\\ \frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{5}{z}=1\end{matrix}}$
Jawab
Misalkan $\frac{1}{x}=a, \frac{1}{y}=b, \text{ dan}\frac{1}{z}=c$
$\cases{\begin{matrix}\frac{4}{x}+\frac{1}{y}+\frac{10}{z}=8\text{ dapat diubah menjadi }4a+b+10c=8 ..........(1)\\ \frac{3}{x}+\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=3\text{ dapat diubah menjadi }3a+2b-c=3 ..........(2)\\ \frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{5}{z}=1\text{ dapat diubah menjadi } a-2b+5c=1 ..........(3)\end{matrix}}$
Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2)
$4a+b+10c=8$ $|\times 1|4a+b+10c=8$
$3a+2b-c=3$ $|\times 10|\underline{30a+20b-10c=30}$ $+$
$34a+21b=38$ ..........(4)
Eliminasic dari persamaan (2) dan (3)
$3a+2b-c=3$ $|\times 5|15a+10b-5c=15$
$a-2b+5c=1$ $|\times 1|\underline{a-2b+5c=1}$ $+$
$16a+8b=16$ dibagi 8 menjadi $2a+b=2$ ...........(5)
Eliminasi b dari persamaan (4) dan (5)
$34a+21b=38$ $|\times1| 34a+21b=38$
$2a+b=2$ $|\times 21|\underline{42a+21b=42}$ $-$
$-8a=-4$
$a=\frac{-4}{-8}=\frac{1}{2}$ ..........(6)
Substitusi persamaan (6) pada persamaan (5)
$2a+b=2$
$2\left(\frac{1}{2}\right)+b=2$
$1+b=2$
$b=2-1=1$ .........(7)
Substitusi persamaan (6) dan (7) pada persamaan (3)
$a-2b+5c=1$
$\frac{1}{2}-2(1)+5c=1$
$\frac{1}{2}-2+5c=1$
$-\frac{3}{2}+5c=1$
$5c=1+\frac{3}{2}$
$5c=\frac{5}{2}$
$c=\frac{5}{2\times5}$
$c=\frac{1}{2}$
sehingga,
$a=\frac{1}{2}=\frac{1}{x}$ maka nilai $x=2$
$b=1=\frac{1}{y}$ maka nilai $y=1$
$c=\frac{1}{2}=\frac{1}{z}$ maka nilai $z=2$
jadi nilai $\frac{1}{xyz}=\frac{1}{(2)(1)(2)}=\frac{1}{4}$
Latihan 3
1. Tentukan nilai $\frac{1}{x+y+z}$ dari sistem persamaan berikut.
$\cases{\begin{matrix}\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}=-1\\ \frac{1}{x}-\frac{4}{y}+\frac{1}{z}=0\\ \frac{5}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\end{matrix}}$
2. Tentukan nilai $\sqrt{x+y+z}$ dari sistem persamaan berikut.
$\cases{\begin{matrix}\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\\ \frac{1}{x}-\frac{2}{y}-\frac{4}{z}=-3\\\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}=5\end{matrix}}$
Comments
Post a Comment