Skip to main content

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

By
 Ciri- ciri sistem persamaan linear tiga variabel.
1.  Memiliki 3 persamaan  linear  (berpangkat satu) yang saling keterkaitan. 
2.  Minimal salah satu persamaan tersusun dari 3 variabel.
Contoh
$\cases{\begin{matrix}3x+2y-z=9\\x+3z=6\\x+5y=13\end{matrix}}$
atau 
$\cases{\begin{matrix}x+y-3z=-9\\2x-3y+2z=3\\4x-2z=-18\end{matrix}}$
atau 
$\cases{\begin{matrix}x+y-z=-1\\3x+2y+4z=24\\x+3y-2z=-3\end{matrix}}$

Cara menyelesaikan SPLTV secara Umum.

1.  Eliminasi satu variabel dari dua persamaan dan beri kode persamaan 4
2.  Eliminasi lagi satu variabel yang sama dari dua persamaan yang berbeda dari langkah 1 dan beri kode persamaan 5
3.  Eliminasi salah satu variabel dari persamaan 4 dan persamaan 5, hasilnya diberi kode dengan persamaan 6
4.  Substitusi persamaan 6 ke persamaan 4 atau persamaan 5, hasilnya diberi kode dengan persamaan 7.
5.  Substitusi persamaan 6 dan persamaan 7 pada salah satu persamaan pada soal.

Contoh 1

tentukan nilai $xyz$ dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

$\cases{\begin{matrix}x+y-z=-1\\3x+2y+4z=24\\x+3y-2z=-3\end{matrix}}$

Jawab

$\cases{\begin{matrix}x+y-z=-1 ............(1)\\3x+2y+4z=24 ............(2)\\x+3y-2z=-3 ............(3)\end{matrix}}$.

Eliminasi $z$ dari persamaan (1) dan (2)

$x+y-z=-1$          $|\times4| 4x+4y-4z=-4$

$3x+2y+4z=24$     $|\times 1|  \underline{3x+2y+4z=24  }$   $+$

                                                 $7x+6y=20$  ............(4)

Eliminasi $z$ dari persamaan (1) dan (3)

$x+y-z=-1$        $|\times 2|2x+2y-2z=-2$

$x+3y-2z=-3$    $|\times 1|\underline{x+3y-2z=-3}$  $-$

                                                 $x-y=1$  ............(5)

Eliminasi $y$ dari Persamaan (4) dan (5)

$7x+6y=20$  $|\times 1|7x+6y=20$

$x-y=1$         $|\times 6|\underline{6x-6y=6}$  $+$

                                           $13x=26$

                                           $x=\frac{26}{13}=2$  ............(6)

Substitusi Persamaan (6) pada persamaan (5)

$x-y=1$

$2-y=1$

$-y=1-2$

$-y=-1$

$y=1$  ............(7)

Substitusi persamaan (6) dan (7) pada persamaan (1)

$x+y-z=-1$

$2+1-z=-1$

$3-z=-1$

$-z=-1-3$

$-z=-4$

$z=4$

Jadi nilai $x=2, y=1 \text{ dan }z=4$, sehingga nilai $xyz=(2)(1)(4)=8$



Latihan 1
1.  Tentukan nilai $(xy)^z$ dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut 
     $\cases{\begin{matrix}3x-y+2z=9\\x+2y-z=9\\2x+3y+3z=24\end{matrix}}$
2.  Tentukan nilai $\left(\frac{x}{y}\right)^z$ dari sistem persamaan linear tiga varibel berikut
     $\cases{\begin{matrix}x+y-3z=-1\\2x+3y+z=21\\3x+y-2z=14\end{matrix}}$

Contoh 2

Tentukan nilai $\sqrt{xyz}$ dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut

$\cases{\begin{matrix}x+y-3z=-5\\2x-3y+2z=9\\4x-2z=6\end{matrix}}$

Jawab

$\cases{\begin{matrix}x+y-3z=-5 ..........(1)\\2x-3y+2z=9  ..........(2)\\4x-2z=6  .........(3)\end{matrix}}$

karena persamaan (3)persamaan dua variabel yaitu $x\text{ dan } z$ maka eliminasi y dari persamaan (1) dan (2)

$x+y-3z=-5$         $|\times3|3x+3y-9z=-15$

$2x-3y+2z=9$        $|\times1|\underline{2x-3y+2z=9}$  $+$

                                                   $5x-7z=-6$  ..........(4)

Eliminasi $z$ dari persamaan (3) dan (4)

$4x-2z=6$  $|\times 7|28x-14z=42$

$5x-7z=-6$  $|\times 2|\underline{10x-14z=-12}$  $-$

                                            $18x=54$

                                            $x=\frac{54}{18}=3$  ........(5)

Substitusi persamaan (5) pada persamaan (3)

$4x-2z=6$

$4(3)-2z=6$

$12-2z=6$

$-2z=6-12$

$-2z=-6$

$z=\frac{-6}{-2}=3$  ..........(6)

Substitusi (5) dan (6) pada persamaan (1)

$x+y-3z=-5$

$3+y-3(3)=-5$

$3+y-9=-5$

$y-6=-5$

$y=-5+6=1$

Jadi nilai $x=3, y=1\text{ dan}z=3$ sehingga $\sqrt{xyz}=\sqrt{(3)(1)(3)}=\sqrt{9}=\pm 3$



Latihan 2
1.  Tentukan nilai $\sqrt{x+yz}$ dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut
     $\cases{\begin{matrix}2x+y-z=4\\3x-2y+z=13\\x-2z=-10\end{matrix}}$
2.  Tentukan nilai $\sqrt{\frac{xy}{z}}$ dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
     $\cases{\begin{matrix}x-y+z=-2\\2x+3y=32\\3x+2y-5z=18\end{matrix}}$

Contoh 3

Tentukan nilai $\frac{1}{xyz}$ dari sistem persamaan berikut.

$\cases{\begin{matrix}\frac{4}{x}+\frac{1}{y}+\frac{10}{z}=8\\ \frac{3}{x}+\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=3\\ \frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{5}{z}=1\end{matrix}}$

Jawab

Misalkan $\frac{1}{x}=a, \frac{1}{y}=b, \text{ dan}\frac{1}{z}=c$

$\cases{\begin{matrix}\frac{4}{x}+\frac{1}{y}+\frac{10}{z}=8\text{ dapat diubah menjadi }4a+b+10c=8  ..........(1)\\ \frac{3}{x}+\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=3\text{ dapat diubah menjadi }3a+2b-c=3  ..........(2)\\ \frac{1}{x}-\frac{2}{y}+\frac{5}{z}=1\text{ dapat diubah menjadi } a-2b+5c=1  ..........(3)\end{matrix}}$ 

Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2)

$4a+b+10c=8$  $|\times 1|4a+b+10c=8$

$3a+2b-c=3$     $|\times 10|\underline{30a+20b-10c=30}$  $+$

                                                 $34a+21b=38$  ..........(4)

Eliminasic dari persamaan (2) dan (3)

$3a+2b-c=3$  $|\times 5|15a+10b-5c=15$

$a-2b+5c=1$  $|\times 1|\underline{a-2b+5c=1}$  $+$

                                         $16a+8b=16$  dibagi 8 menjadi $2a+b=2$  ...........(5)

Eliminasi b dari persamaan (4) dan (5)

$34a+21b=38$  $|\times1| 34a+21b=38$

$2a+b=2$  $|\times 21|\underline{42a+21b=42}$  $-$

                                           $-8a=-4$

                                           $a=\frac{-4}{-8}=\frac{1}{2}$  ..........(6)

Substitusi persamaan (6) pada persamaan (5)

$2a+b=2$

$2\left(\frac{1}{2}\right)+b=2$

$1+b=2$

$b=2-1=1$  .........(7)

Substitusi persamaan (6) dan (7) pada persamaan (3)

$a-2b+5c=1$

$\frac{1}{2}-2(1)+5c=1$

$\frac{1}{2}-2+5c=1$

$-\frac{3}{2}+5c=1$

$5c=1+\frac{3}{2}$

$5c=\frac{5}{2}$

$c=\frac{5}{2\times5}$

$c=\frac{1}{2}$

sehingga,

$a=\frac{1}{2}=\frac{1}{x}$ maka nilai $x=2$

$b=1=\frac{1}{y}$ maka nilai $y=1$

$c=\frac{1}{2}=\frac{1}{z}$ maka nilai $z=2$

jadi nilai $\frac{1}{xyz}=\frac{1}{(2)(1)(2)}=\frac{1}{4}$



Latihan 3
1.  Tentukan nilai  $\frac{1}{x+y+z}$ dari sistem persamaan berikut.
     $\cases{\begin{matrix}\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}=-1\\ \frac{1}{x}-\frac{4}{y}+\frac{1}{z}=0\\ \frac{5}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\end{matrix}}$
2.  Tentukan nilai $\sqrt{x+y+z}$ dari sistem persamaan berikut.
    $\cases{\begin{matrix}\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\\ \frac{1}{x}-\frac{2}{y}-\frac{4}{z}=-3\\\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}=5\end{matrix}}$


Labels:

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Pecatur A, B, C dan D bertanding dalam suatu turnamen catur, Urutan pemain yang memperoleh nilai tertinggi sampai ke terendah adalah ...

By
  Pecatur A, B, C dan D bertanding dalam suatu turnamen catur. Setiap pemain saling bertemu satu kali. pada setiap pertandingan, pemain yang menang, seri dan kalah, berturut-turut mendapatkan nilai 2, 1, dan 0. Data hasil pertandingan adalah A menang 2 kali, B seri dua kali, C kalah dua kali, dan D tidak pernah seri. Pembahasan; dari tabel setiap pecatur bertanding sebanyak tiga kali; seperti A dengan B, A dengan C dan A dengan D.  *B dua kali seri pastinya B  seri ketika melawan A dan melawan C (karena D tidak pernah seri),  * A menang 2 kali pastinya A menang melawan C dan melawan D ( karena A melawan B seri) *  kalah 2 kali pastinya C kalah melawan A dan melawan D (karena C seri melawan B) B dan D belum ditentukan menang atau kalah nya.   Pertandingan     Menang     seri     kalah                 A dan B         -   B/A     -      A dan C        A    -   C      A dan D       A    -     D      B dan C        -   B/C     -      B dan D      B/D    -   B/D    ?      C dan D        D
Post a Comment
Read more

SOAL AKM TRANSFORMASI MATRIKS

By
 1.   Tata mendapatkan tugas dari Yuliana untuk menentukan besaran translasi yang dilakukannya jika posisi awalnya dititik $(4,2)$ dan posisi akhirnya$(-1,-2)$  berapakah besaran translasinya? Jawab; Pososi Akhir = posisi awal + besaran translasi $\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$ $4+a=-1$ maka $a=-1-4=-5$ $2+b=-2$ maka $b=-2-2=-4$ jadi besaran translasinya $(-5,-4)$ 2.   Persamaan parabola $y=2x^2+6$ ditranslasikan oleh matriks $\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ akan mempunyai bayangan parabola dengan titik puncak …. Jawab; $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$ $x+1=x'$ maka $x=x'-1$ .....(1) $y+3=y'$ maka $y=y'-3$ ....(2) substitusi (1) dan (2) ke $y=2^2+6$ menjadi $y'-3=2(x'-1)^2+6$ $y'-3=2(x'^2-2x'+1)+6$ $y'-3=2x'^2-4x'
1 comment
Read more

SOAL AKM MATRIKS

By
  7.   Jawab; a. BENAR B. Salah (seharusnya sama dengan g bukan h) C. Salah (seharusnya kotak silang bukan kotak dua) D. Salah E.  Salah 8.   Jawab; $A_{2\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan)  $B_{2\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom B sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $A_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom A tidak sama dengan banyak baris C (tida dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times A_{2\times 2}$ karena banyak kolom C sama dengan banyak baris A (dapat dikalikan) $B_{2\times 2} \times C_{3\times 2}$ karena banyak kolom B tidak sama dengan banyak baris C ( tidak dapat dikalikan) $C_{3\times 2} \times B_{2\times 2}$ karena banyak kolom A sama dengan banyak baris B (dapat dikalikan) jadi banyak perkalian yang dapat dilakukan adalah 6 9.   Matriks $L=\left(\begin{matrix}a&b&c\\1&2&3\\d&e&f\end{matrix}\right)$, jika $L^T$ merupakan transpose dari matriks L, ma
Post a Comment
Read more