SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Capaian Pembelajaran berdasarkan permendiknas no 46 tahun 2025

Capaian Pembelajaran   : Murid mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel; menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat (termasuk akar imajiner), serta persamaan eksponensial (berbasis/ bilangan pokok sama) dan fungsi eksponensial.

Tujuan Pembelajaran  :  Murid mampu menyelesaikan masalah optimasi sederhana yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel, seperti menentukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi objektif.

Ilustrasi

Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp. 4.000,-/buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3.000,-/ buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah ….

Jawab

Langkah 1; Membuat Model Matematika dari permasalahan diatas;

Pembicaraan utama pada masalah diatas yaitu tentang Keuntungan maksimum penjulanan kue, berarti yang menjadi variabelnya yaitu kue A dan kue B.

Misalkan;  

              Banyak Kue A $=x$ 

              Banyak Kue B $=y$.

Gula: Sebuah kue A membutuhkan 20 gram gula dan sebuah kue B membutuhkan 20 gram gula sedangkan gula yang dimiliki 4 kg ($4 \text{ kg}=4\times 1000 \text{ gram}=4000 \text{ gram}$), model matematika dapat ditulis menjadi;

          $20x+20y\leq4000$   dibagi 20 menjadi $x+y\leq200$ .............(1)

Tepung: Sebuah kue A membutuhkan 60 gram tepung dan sebua kue B membutuhkan 40 gram tepung, sedangkan tepung tersedia 9 kg ($9\text{ kg}=9\times 1000 \text{ gram}=9000\text{ gram}$), model matematika dapat ditulis menjadi;

          $60x+40y\leq9000$ dibagi 20 menjadi $3x+2y\leq450$ ..........(2)  

Harga Jual:   Kue A dijual dengan haraga Rp 4000,00/ buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3.000,00/buah, pendapatan maksumum, ini disebut dengan fungsi objektif/ fungsi tujuan, model matematika dapat ditulis menjadi ;

         $F(x,y)=4000x+3000y$ .......(maks)

Jadi Model matematikanya yaitu;

$x+y\leq200$

$3x+2y\leq450$

$x\geq 0, y\geq 0$

$F(x,y)=4000x+3000y$    ......(maks)

Langkah 2;  Menggambar grafik fungsi yang ada pada model matematika diatas

$x+y=200$ 

Untuk $x=0\to y=200$ jadi titiknya $(0,200)$

untuk $y=0\to x=200$ jadi titiknya $(200,0)$

Uji Coba titik $(0,0)$ pada pertidaksamaan $x+y\leq 200$

$0+0\leq200\to 0\leq 200$  (pernyataan benar, arsiran ke arah titik (0,0))

$3x+2y= 450$

untuk $x=0\to 3(0)+2y=450\to y=\frac{450}{2}=225$ jadi titiknya $(0, 225)$

untuk $y=0\to 3x+2(0)=450\to x=\frac{450}{3}=150$ jadi titiknya $150,0)$

Uji Coba titik $(0,0)$ pada pertidaksamaan $3x+2y\leq450$

$3(0)+2(0)\leq 450\to 0\leq450$  (Pernyataan Benar, arsiran ke arah titik (0,0))

Sehingga grafiknya menjadi

Langkah 3; Menentukan titik potong dua grafik dengan eliminasi dan substitusi

Eliminasi $x$ 

$x+y=200$          $|\times 3|3x+3y=600$

$3x+2y=450$     $|\times 1|\underline{3x+2y=450}$   $-$ 

                                              $3x-3x+3y-2y=600-450$

                                              $y=150$

Substitusi $y=150$ ke $x+y=200$, 

$x+150=200$

$x=200-150=50$

jadi titik potongnya $(x,y)$ yaitu $(50,150)$

Langkah 4; Menentukan titik Pojok daerah Himpunan (diperoleh dari grafik yang telah dibuat) dan mensubstitusi kan pada $F(x,y)=4000x+3000y$

$(150,0)\to 4000(150)+3000(0)=600.000$

$(50,150)\to 4000(50)+3000(150)=200.000+450.000=650.000$

$(0,200)\to 4000(0)+3000(200)=600.000$

jadi pendapatan maksimum adalah Rp.650.000,00

Soal Proyek

1. Ekonomi dan Bisnis

Soal 1.a Produksi Pakaian

Sebuah pabrik garmen memproduksi dua jenis pakaian: kemeja dan celana. Untuk membuat satu kemeja, diperlukan 2 meter kain katun dan 1 jam kerja. Sementara itu, satu celana membutuhkan 3 meter kain katun dan 2 jam kerja. Pabrik memiliki persediaan 120 meter kain katun dan 80 jam kerja setiap hari. Keuntungan dari penjualan satu kemeja adalah Rp50.000 dan satu celana adalah Rp70.000. Tentukan berapa banyak kemeja dan celana yang harus diproduksi setiap hari agar keuntungan pabrik mencapai maksimum.

Soal 1.b  Alokasi Anggaran Iklan

Sebuah perusahaan ingin mengalokasikan anggaran iklan sebesar Rp10.000.000 untuk dua platform digital: Media Sosial dan Iklan Web. Setiap Rp1.000.000 yang dihabiskan di Media Sosial dapat menjangkau 200.000 audiens, sementara setiap Rp1.000.000 di Iklan Web dapat menjangkau 150.000 audiens. Perusahaan menetapkan batasan bahwa anggaran untuk Media Sosial tidak boleh melebihi Rp7.000.000, dan anggaran untuk Iklan Web harus setidaknya Rp2.000.000. Tentukan berapa alokasi anggaran untuk setiap platform agar total audiens yang dijangkau menjadi maksimum.

2. Ilmu Komputer dan Teknologi

Soal 2.a  Penjadwalan Tugas Server

Sebuah server dapat menjalankan dua jenis tugas: Tugas A dan Tugas B. Tugas A membutuhkan 4 unit memori dan 2 unit CPU, sedangkan Tugas B membutuhkan 3 unit memori dan 5 unit CPU. Server memiliki total 60 unit memori dan 50 unit CPU. Setiap Tugas A yang selesai memberikan 10 poin kinerja, dan setiap Tugas B memberikan 15 poin kinerja. Berapa banyak Tugas A dan Tugas B yang harus dijalankan untuk memaksimalkan total poin kinerja?

Soal 2.b Desain Jaringan

Seorang insinyur jaringan harus merancang infrastruktur dengan dua jenis kabel: Kabel Fiber Optik (A) dan Kabel Koaksial (B). Setiap meter Kabel A berbiaya Rp20.000 dan dapat mentransfer data 100 Mbps. Setiap meter Kabel B berbiaya Rp15.000 dan dapat mentransfer data 80 Mbps. Proyek tersebut memiliki anggaran maksimal Rp5.000.000. Untuk memastikan kecepatan minimum, total transfer data harus setidaknya 3.000 Mbps. Tentukan berapa meter dari setiap jenis kabel yang harus dibeli agar total panjang kabel yang digunakan menjadi maksimum.

3. Pertanian dan Pangan

Soal 3.a Kombinasi Tanaman

Seorang petani memiliki 10 hektar lahan dan ingin menanam jagung dan kedelai. Menanam 1 hektar jagung membutuhkan 150 kg pupuk dan 100 jam kerja. Menanam 1 hektar kedelai membutuhkan 100 kg pupuk dan 120 jam kerja. Petani memiliki persediaan 1.200 kg pupuk dan 1.000 jam kerja. Keuntungan dari 1 hektar jagung adalah Rp10.000.000 dan 1 hektar kedelai adalah Rp12.000.000. Tentukan berapa hektar jagung dan kedelai yang harus ditanam agar keuntungan petani maksimum.

Soal 3.b  Komposisi Pakan Ternak

Seorang peternak ingin membuat pakan untuk ternaknya menggunakan dua bahan: Tepung Ikan dan Bungkil Kelapa. Setiap kg Tepung Ikan mengandung 200 gram protein dan 10 gram lemak, dengan biaya Rp25.000. Setiap kg Bungkil Kelapa mengandung 100 gram protein dan 15 gram lemak, dengan biaya Rp15.000. Peternak membutuhkan pakan yang setidaknya mengandung 1.500 gram protein dan tidak lebih dari 100 gram lemak per hari. Berapa banyak kg Tepung Ikan dan Bungkil Kelapa yang harus dicampur untuk meminimalkan biaya pakan harian?

4. Ilmu Kesehatan dan Kedokteran

Soal 4.a Perencanaan Menu Pasien

Seorang ahli gizi ingin merencanakan menu makan siang untuk pasien menggunakan dua jenis makanan: Makanan A dan Makanan B. Satu porsi Makanan A mengandung 300 kalori dan 5 gram protein, sedangkan satu porsi Makanan B mengandung 200 kalori dan 10 gram protein. Pasien membutuhkan setidaknya 1.200 kalori dan 50 gram protein. Biaya per porsi Makanan A adalah Rp20.000 dan Makanan B adalah Rp15.000. Tentukan berapa porsi Makanan A dan B yang harus diberikan untuk memenuhi kebutuhan nutrisi dengan biaya minimum.

Soal 4.b Alokasi Waktu Layanan Medis

Sebuah klinik kesehatan memiliki dua jenis layanan: Konsultasi Umum dan Vaksinasi. Konsultasi Umum membutuhkan 20 menit waktu dokter dan 10 menit waktu perawat. Vaksinasi membutuhkan 5 menit waktu dokter dan 15 menit waktu perawat. Dalam satu hari, klinik memiliki total 8 jam waktu dokter dan 6 jam waktu perawat yang tersedia. Setiap Konsultasi Umum memberikan keuntungan Rp100.000 dan setiap Vaksinasi memberikan keuntungan Rp75.000. Berapa banyak Konsultasi Umum dan Vaksinasi yang harus dijadwalkan per hari untuk memaksimalkan keuntungan klinik?

5. Teknik (Engineering)

Soal 5.a Campuran Bahan Bakar

Seorang insinyur kimia ingin mencampur dua jenis bahan bakar: Bahan Bakar A dan Bahan Bakar B. Setiap liter Bahan Bakar A berharga Rp12.000 dan menghasilkan 15.000 BTU energi. Setiap liter Bahan Bakar B berharga Rp10.000 dan menghasilkan 10.000 BTU energi. Insinyur membutuhkan total energi setidaknya 100.000 BTU. Karena pertimbangan lingkungan, total volume campuran tidak boleh melebihi 10 liter. Tentukan berapa liter dari setiap bahan bakar yang harus dicampur untuk meminimalkan total biaya.

Soal 5.b Produksi Part Mesin

Sebuah pabrik memproduksi dua jenis part mesin: Part X dan Part Y. Part X membutuhkan 4 kg baja dan 3 jam kerja, sedangkan Part Y membutuhkan 5 kg baja dan 2 jam kerja. Pabrik memiliki persediaan 200 kg baja dan 150 jam kerja per bulan. Keuntungan dari Part X adalah Rp250.000 per unit, dan Part Y adalah Rp300.000 per unit. Tentukan berapa banyak Part X dan Part Y yang harus diproduksi setiap bulan untuk memaksimalkan keuntungan

Latihan 1

1.  Suatu tempat parkir yang luasnya 300 m² digunakan untuk memarkir sebuah mobil dengan rata – rata 10 m² dan untuk bus rata – rata 20 m² dengan daya tampung hanya 24 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil Rp. 1.000,00/jam dan untuk bus Rp. 3.000,00/jam. Jika dalam satu jam tempat parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang datiag dan pergi, hasil maksimum tempat parkir itu adalah … 

2.  Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp. 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp. 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp. 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue,  maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut adalah ….

Contoh 2

Nilai maksimum fungsi obyektif $4x + 2y$ pada himpunan penyelesaian system pertidaksamaan $x+y\geq4$, $x+y\leq9$, $ –2x + 3y\leq12, 3x – 2y\leq12$ adalah ….

Jawab

$x+y\geq4$

untuk $x=0$ maka $y=4$ maka titiknya $(0,4)$

untuk $y=0$ maka $x=4$ maka titiknya $(4,0)$

Uji coba titik (0,0) pada $x+y\geq4$

$0+0\geq4$

$0\geq4$ .........(salah, berarti irisan tidak ke arah titik (0,0))

$x+y\leq9$

untuk $x=0$ maka $y=9$ maka titiknya $(0,9)$

untuk $y=0$ maka $x=9$ maka titiknya $(9,0)$

Uji Coba titik (0,0) pada $x+y\leq9$

$0+0\leq9$

$0\leq 9$ .........(benar, bararti irisan ke arah titik (0,0))

$-2x+3y\leq12$

untuk $x=0$ maka $3y=12\to y=\frac{12}{3}=4$ maka titiknya $(0,4)$

untuk $y=0$ maka $-2x=12\to x=\frac{12}{-2}=-6$ maka titiknya $(-6, 0)$

Uji coba titik (0,0) pada $-2x+3y\leq12$

$-2(0)+3(0)\leq12$

$0+0\leq12$

$0\leq12$ ..........(benar, berarti irisan ke arah titik (0,0))

$3x-2y\leq12$

untuk $x=0$ maka $-2y=12\to y=\frac{12}{-2}=-6$ maka titiknya $(0,-6)$

untuk $y=0$ maka $3x=12\to x=\frac{12}{3}=4$ maka titiknya $(4,0)$

uji coba titik (0,0) pada $3x-2y\leq12$

$3(0)-2(0)\leq12$

$0-0\leq12\to0\leq12$ ........(benar, berarti irisan kearah titik (0,0))

Grafik

Berdasarkan grafik ada 4 titik pojok yaitu $(0,4), (3,6), (6,3), (4,0)$

Substitusi titik pojok ke fungsi tujuan $F(x,y)=4x+2y$

titik pojok $(0,4)$ maka $F(0,4)=4(0)+2(4)=0+8=8$

titik pojok $(3,6)$ maka $F(3,6)=4(3)+2(6)=12+12=24$

titik pojok $(6,3)$ maka $F(6,3)=4(6)+2(3)=24+6=30$

titik pojok $(4,0)$ maka $F(4,0)=4(4)+2(0)=16+0=16$

Jadi nilai maksimum adalah $30$.

Latihan 2

1.  Nilai maksimum fungsi sasaran $3x+4y$ dari sistem pertidaksamaan

 $\cases{\begin{matrix}2x+y\geq6\\ x-y\leq0\\ x+y\geq10\\ -2x+y\leq4\end{matrix}}$.

2. Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari system pertidaksamaan 

$\cases{\begin{matrix}4x+2y\leq60\\x+4y\leq48\\x\geq0\\y\geq0\end{matrix}}$ adalah ….