A. PERGESERAN/TRANSLASI
A. 1 Pergeseran Titik
Jika titik $A(x,y)$ digeser sejauh $(a, b)$ maka posisi setelah digeser yaitu $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+a\\y+b\end{matrix}\right)$. dapat ditulis daam bentuk sederhananya sebagai berikut.
$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{T=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)}\text{ }\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+a\\y+b\end{matrix}\right)$
| Sumbu Koordinat | Arah Pergeseran | Nilai Pergeseran |
|---|---|---|
| Sumbu X | Kanan | + x |
| Sumbu X | Kiri | - x |
| Sumbu Y | Atas | + y |
| Sumbu Y | Bawah | -Y |
Contoh 1
perhatikan gambar berikut
Budi memberi tahu Anto daerah yang akan dituju nya melalui map yang di sediakan. sekarang sebuah dadu diletakkan di Pariaman yang menandakan posisi awal mereka, dadu tersebut di geser ke kanan sejauh 9 satuan dan ke atas sejauh 4 satuan. dimanakah posisi setelah pergeserannya dan berapa titik koordinatnya?
Penyelesaian
Diketahui : Posisi Awal Budi di Pariaman dengan koordinat $\left(\begin{matrix}-9\\2\end{matrix}\right)$
Besaran pergeseran : $T\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$
Ditanya : Posisi Akhir dan titik koordinatnya $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)$.
Jawab : $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+a\\y+b\end{matrix}\right)$
$\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9+9\\2+4\end{matrix}\right)$
$\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$
Jadi daerah yang akan dituju mereka yaitu Bunut dengan titik koordinat $(0,6)$
Contoh 2
Anda menggeser sebuah dadu yang berada di atas map pada contoh 1, Anda menggeser dadu tersebut ke kiri sejauh 13 satuan dan kebawah sejauh 3 satuan sehingga berada di daerah Batusangkar dengan titik koordinat $(-7,3)$. Dimanakah posisi awal dadu tersebut sebelum dilakukan pergeseran dan berapa titik koordinatnya?
Penyelesaian
Diketahui : Besaran pergeseran : $T\left(\begin{matrix}-13\\-3\end{matrix}\right)$
Posisi akhir di Batusangkar dengan titik koordinat: $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$
Ditanya : Posisi awal : $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$
Jawab : $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+a\\y+b\end{matrix}\right)$
$\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+(-13)\\y+(-3)\end{matrix}\right)$
$\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x-13\\y-3\end{matrix}\right)$
$\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}13\\3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x-13\\y-3\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}13\\3\end{matrix}\right)$
$\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$
jadi posisi awalnya berada di Sungai Guntung dengan titik koordinat $(6,6)$.
Latihan 1
1. Perhatikan gambar berikut.
2. perhatikan gambar berikut.
Kayla berangkat dari suatu daerah yang ada di Provinsi Aceh menuju Banda Aceh, Kayla membutuhkan Nadin untuk menentukan jarak daerah asal ke Banda Aceh, Untuk menentukan jarak tersebut membentuk segitiga siku-siku dan menghitung jarak menggunakan teorema Pythagoras. informasi yang bisa Nadin berikan bahwa Kayla bergerak dari titik Asal ke kiri sejauh 6 satuan dan ke atas sejauh 7 satuan. Dari manakah posisi awal Kayla dan berapa titik koordinatnya?
A. 2 Pergeseran Kurva
Ingat;
$\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+a\\y+b\end{matrix}\right)$
dimana;
$(x', y')$ : posisi akhir/ bayangan dari $(x,y)$
$(a,b)$ : besaran pergeseran/ besaran transalasi
$(x,y)$ : posisi awal
Contoh 3
Tentukan bayangan dari translasi grafik fungsi linear $y=3x+5$ sejauh $(-2,4)$
Penyelesaian:
Diketahui: titik awal fungsi $y=3x+5$ adalah $(x,y)$
besaran translasi : $T\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$
Ditanya : bayangan dari translasi
Jawab :
$\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+a\\y+b\end{matrix}\right)$
$\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+(-2)\\y+4\end{matrix}\right)$
$\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x-2\\y+4\end{matrix}\right)$
sehingga;
$x-2=x'$ maka $x=x'+2$
$y+4=y'$ maka $y=y'-4$
subtitusi $x=x'+2$ dan $y=y'-4$ ke $y=3x+5$
$y'-4=3(x'+2)+5$
$y'-4=3x'+6+5$
$y'-4=3x''+11$
$y'=3x'+11+4$
$y'=3x'+15$
jadi, bayangannya $y=3x+5$
Contoh 4
Sebuah kurva fungsi kuadrat di translasi sebesar $(2,-4)$ sehingga bayangannya menjadi $y=3x^2-4x+5$, tentukan bentuk awal fungsi kuadrat tersebut.
Penyelesaian
Diketahui : besaran translasi : $T\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$
Bayangan : $y'=3(x')^2-4x+5$ berarti titik bayangannya $(x',y')$
Ditanya: Fungsi awal
Jawab: $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+a\\y+b\end{matrix}\right)$
$\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+2\\y-4\end{matrix}\right)$
sehingga
$x'=x+2$ dan $y'=y-4$
substitusi $x'=x+2$ dan $y'=y-4$ pada $y'=3(x')^2-4x'+5$
$y-4=3(x+2)^2-4(x+2)+5$
$y-4=3(x^2+4x+4)-4(x+2)+5$
$y-4=3x^2+12x+12-4x-8+5$
$y=3x^2+12x-4x+12-8+5+4$
$y=3x^2+8x+13$
jadi fungsi awalnya sebelum ditranslasi adalah $y=3x^2+8x+13$
Latihan 2
1. Tentukan bayangan dari translasi grafik fungsi linear $y=5x-3$ sejauh $(1,4)$
2. Tentukan bayangan dari translasi grafik fungsi linear $y=-2x+3$ sejauh $(-3,2)$
3. Sebuah kurva fungsi kuadrat di translasi sebesar $(-3,2)$ sehingga bayangannya menjadi $y=2x^2-5x+6$, tentukan bentuk awal fungsi kuadrat tersebut.
4. Sebuah kurva fungsi kuadrat di translasi sebesar $(2,-1)$ sehingga bayangannya menjadi $y=x^2-9$, tentukan bentuk awal fungsi kuadrat tersebut.
PENCERMINAN/ REFLEKSI
Berikut merupakan ringkasan tentang pencerminan.
| Asal | Cermin | Posisi Akhir/ Bayangan | Simbol |
|---|---|---|---|
| $\text{ }\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\text{ }$ | Sumbu $X$ | $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\-y\end{matrix}\right)$ | $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{M_{sumbu X}}\text{ }\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\-y\end{matrix}\right)$ |
| $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$ | Sumbu $Y$ | $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-x\\y\end{matrix}\right)$ | $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{M_{sumbu Y}}\text{ }\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-x\\y\end{matrix}\right)$ |
| $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$ | $x=a$ | $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a-x\\y\end{matrix}\right)$ | $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{M_{sumbu X}}\text{ }\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a-x\\y\end{matrix}\right)$ |
| $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$ | $y=b$ | $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\2b-y\end{matrix}\right)$ | $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{M_{sumbu X}}\text{ }\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\2b-y\end{matrix}\right)$ |
| $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$ | $y=x$ | $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)$ | $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{M_{sumbu X}}\text{ }\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)$ |
| $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$ | $\text{ }y=-x\text{ }$ | $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-y\\-x\end{matrix}\right)$ | $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{M_{sumbu X}}\text{ }\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-y\\-x\end{matrix}\right)$ |
| $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$ | Titik Asal $(0,0)$ | $\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-x\\-y\end{matrix}\right)$ | $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{M_{sumbu X}}\text{ }\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-x\\-y\end{matrix}\right)$ |
Pencerminan Titik
Contoh 5
Diketahui bangun datar ABC,dimana $A(-3,6), B(2,10)$ dan $C(4,4)$ titik A dicerminkan terhadap sumbu X, titik B dicerminkan terhadap sumbu Y, dan titik C dicerminkan terhadap garis $y=3$. tentukan bayangan bangun datar ABC.
Penyelesaian:
Diketahui: Bangun datar ABC, $A(-3,6),B(2,10)$ dan $C(4,4)$.
Cermin titik A adalah Sumbu X
Cermin titik B adalah Sumbu Y
Cermin titik C adalah garis $y=3$
Ditanya: Bayangan bangun datar ABC
Jawab :
Titik A
$A\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{M_{sumbu X}}\text{ }A'\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$
Titik B
$A\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{M_{sumbu Y}}\text{ }B'\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$
Titik C
$C\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{M_{y=3}}\text{ }C'\left(\begin{matrix}4\\2(3)-4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$
Latihan 3
1. Diketahui bangun datar ABC,dimana $A(-5,2), B(-7,-2)$ dan $C(-2,-4)$ titik A dicerminkan terhadap sumbu X, titik B dicerminkan terhadap garis $x=4$, dan titik C dicerminkan terhadap garis $y=-1$. tentukan bayangan bangun datar ABC.
2. Diketahui bangun datar ABC,dimana $A(-4,3), B(-2,1)$ dan $C(-1,4)$ titik A dicerminkan terhadap titik asal $(0,0)$, titik B dicerminkan terhadap $y=x$, dan titik C dicerminkan terhadap garis $y=-x$. tentukan bayangan bangun datar ABC.
Pencerminan Kurva
Contoh 6
Fungsi $F(x)=2x^2-3x+1$ dicerminkan terhadap garis $x=2$, tentukan bayangan fungsi tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui : Titik Asal $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$
Fungsi awal : $F(x)=+2x^2-3x+1$
Cermin : $x=2$
Ditanya : bayangan dari $F(x)$
Jawab:
$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{M_{x=2}}\text{ }\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2(2)-x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-x\\y\end{matrix}\right)$
sehingga,
$4-x=x'$ $-x=x'-4$ $x=-x'+4$ ....(1) |
$y=y'$ ....(2) |
|---|
Substitusi $x=-x'+4$ dan $y=y'$ pada $F(x)=x^3+2x^2-3x+1$
$y'=2(-x'+4)^2-3(-x'+4)+1$
$y'=2[(-x')^2+2(-x')(4)+(4)^2]-3(-x'+4)+1$
$y'=2[(x')^2-8x'+16]-3(-x'+4)+1$
$y'=2(x')^2-6x'+32+3x'-12+1$
$y'=2(x')^2-3x'+21$
jadi bayangan fungsi $F(x)=2x^2-3x+1$ setelah dicerminkan terhadap garis$x=2$ adalah $F(x)=2x^2-3x+21$
Contoh 7
Fungsi $F(x)$ dicerminkan dengan garis $y=-x$ dan bayangannya menjadi $F(x)=2^{4x+1}-3$. tentukan fungsi awalnya.
Penyelesaian;
Diketahui : Cermin : $y=-x$
Titik Asal $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$
bayangannya : $F(x)=y'=2^{4x'+1}-3$
Titik bayangan : $\left(\begin{matrix}x'\\y''\end{matrix}\right)$
Ditanya : Fungsi awal
Jawab :
$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\text{ }\underrightarrow{M_{y=-x}}\text{ }\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-y\\-x\end{matrix}\right)$
sehingga,
$x'=-y$ ....(1) |
$y'=-x$ .......(2) |
|---|
$-x=2^{4(-y)+1}-3$
$-x=2^{-4y+1}-3$
$-x+3=2^{-4y+1}$ atau $2^{-4y+1}=-x+3$
ingat: jika $a^b=c$ maka $b=^a\log c$
$-4y+1=^2\log(-x+3)$
$-4y=^2\log(-x+3)-1$
$y=\frac{^2\log(-x+3)-1}{-4}$
jadi fungsi awalnya adalah $F(x)=\frac{^2\log(-x+3)-1}{-4}$
Latihan 4
1. Fungsi $F(x)=3x^2-2x-4$ dicerminkan terhadap garis $y=-3$, tentukan bayangan fungsi tersebut.
2. Fungsi $F(x)=x^2+4x+4$ dicerminkan terhadap garis $y=x$, tentukan bayangan fungsi tersebut
3. Fungsi $F(x)$ dicerminkan dengan garis $y=-x$ dan bayangannya menjadi $F(x)=3^{2x-1}+4$. tentukan fungsi awalnya.
4. Fungsi $F(x)$ dicerminkan dengan garis $x=1$ dan bayangannya menjadi $F(x)=2^{x+1}-3$. tentukan fungsi awalnya
5. Fngsi $F(x)$ dicerminkan dengan sumbu x sehingga membentuk bayangan $F(x)=3x+2$,tentukan fungsi awalnya.
PERPUTARAN/ ROTASI
Jika titik A $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$ diputar sebesar $\alpha$ dimana arah putarnya berlawan arah dengan perputaran jarum jam dengan sumbu putar berada pada titik $(a,b)$, maka posisi A setelah diputar dapat ditentukan menggunakan rumus;
$\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\cos\alpha &-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x-a\\y-b\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$
Catatan:
* Jika arah putar sama dengan arah putaran jarum jam,maka sudut putar berubah menjadi $-\alpha$
* $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$
* $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$
ROTASI TITIK
Contoh 8
Tentukan posisi akhir masing-masing titik sudut segitiga ABC dengan titik-titik sudut $A(1,2), B(4,5)$ dan $C(6,1)$ diputar sejauh $90^o$ berlawanan arah dengan jarum jam dengan sumbu putarnya di titik $(1,-2)$.
Penyelesaian
Diketahui : Segitiga ABC, $A(1,2), B(4,5), C(6,1)$
Sudut putar $=90\degree$
Sumbu putar $(1,-2)$
Ditanya : Posisi Akhir setalah rotasi
Jawab :
$\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\cos\alpha &-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x-a\\y-b\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$
- Titik $A(1,2)$
$A'=\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\cos 90 &-\sin 90\\ \sin 90&\cos 90\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1-1\\2-(-2)\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$
$=\left(\begin{matrix}0 &-1\\ 1&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$
$=\left(\begin{matrix}0\times0+(-1)\times 4\\1\times 0+0\times 4\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\0\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$
- Titik $B(4,5)$
$B'=\left(\begin{matrix}\cos 90 &-\sin 90\\ \sin 90&\cos 90\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4-1\\5-(-2)\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$
$=\left(\begin{matrix}0 &-1\\ 1&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$
$=\left(\begin{matrix}0\times3+(-1)\times 7\\1\times 3+0\times 7\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$
- Titik $C(6,1)$
$C'=\left(\begin{matrix}x'\\y'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\cos 90 &-\sin 90\\ \sin 90&\cos 90\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6-1\\1-(-2)\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$
$=\left(\begin{matrix}0 &-1\\ 1&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$
$=\left(\begin{matrix}0\times5+(-1)\times 3\\1\times 5+0\times 3\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$
Jadi posisi akhir segitiga ABCsetelah di rotasi adalah A'B'C' dengan titik sudut $A'(-3,-2), B'(-6,1)$ dan $C'(-2,3)$
Latihan 5
1. Tentukan posisi akhir masing-masing titik sudut segitiga ABC dengan titik-titik sudut $A(2,1), B(4,-2)$ dan $C(6,2)$ diputar sejauh $90^o$ berlawanan arah dengan jarum jam dengan sumbu putarnya di titik $(-1,2)$.
2. Tentukan posisi akhir masing-masing titik sudut segitiga ABC dengan titik-titik sudut $A(1,3), B(3,5)$ dan $C(5,1)$ diputar sejauh $90^o$ searah dengan jarum jam dengan sumbu putarnya di titik $(0,0)$.
ROTASI FUNGSI
Contoh 9
Tentukan bayangan dari fungsi $F(x)=2x-7$ setelah dilakukan rotasi berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam sebesar $180^o$ dengan sumbu putar pada sumbu koordinat.
Penyelesaian
Comments
Post a Comment