Bimbel Kici

 DERET GEOMETRI BERHINGGA Jumlah n suku pertama ($S_n$) pada deret geometri ditentukan menggunakan rumus; *  Jika $r>1$, maka $S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$ *  Jika $r<1$, maka $S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ dan $S_n-S_{n-1}=U_n$ Contoh 14 Hitunglah jumlah dari 9 suku pertama dari deret geometri $2+3+\frac{9}{2}+ \frac{27}{4}+....$ Jawab $2+3+\frac{9}{2}+ \frac{27}{4}+....$ $a=2$ dan $r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{3}{2}$ karena $r=\frac{3}{2}>1$, maka $S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$ $S_9=\frac{2\left[(\frac{3}{2})^9-1\right]}{\frac{3}{2}-1}$      $=\frac{2\left[\frac{19683}{512}-1\right]}{\frac{3}{2}-1(\frac{2}{2})}$      $=\frac{2\left[\frac{19683}{512}-1\frac{512}{512}\right]}{\frac{3-2}{2}}$      $=\frac{2\left[\frac{19683-512}{512}\right]}{\frac{1}{2}}$      $=\frac{2\left[\frac{19171}{512}\right]}{\frac{1}{2}}$      $=\frac{2\times 19171}{512}\times\frac{2}{1}$     $=\frac{19171}{128}$ Latihan 14 1.  Hitunglah jumlah 8 suku pertama dari deret geometri $\frac{3}{2}+1+\frac{2}{3}+...$ Contoh

 A.  Barisan Geometri        Barisan geometri merupakan barisan yang suku berikutnya merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan suatu ketetapan bilangan yang disebut rasio (r). $U_1=a$                                     (suku pertama r berpangkat 0) $U_2=ar$                                    (suku kedua r berpangkat 1) $U_3=ar.r=ar^2$                         (suku ketiga r berpangkat 2) $U_4=ar^2.r=ar^3$                     (suku keempat r berpangkat 3) $U_5=ar^3.r=ar^4$                     (suku kelima r berpangkat 4) jika dilihat dari pola tersebut, maka  suku ke-n $U_n=ar^{n-1}$, dimana $r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{U_3}{U_2}=\frac{U_n}{U_{n-1}}$ Contoh 10 Tentukan rasio dan suku kesembilan dari barisan geometri $2,4,8,16,...$. Jawab $2,4,8,16,...$. berarti $U_1=2, U_2=4, U_3=8, U_4=16$ rasio ; $r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{4}{2}=2$ suku kesembilan; $U_9=ar^{n-1}$                                        $=2\left(2^{9-1}\right)$                                        $=2\left(2^8\right)$    

Jumlah n suku pertama pada deret deret aritmatika disimbolkan dengan $S_n$.  $S_n=U_1+U_2+U_3+...+U_n$ Rumusnya; $S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n)$ atau $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$ atau $S_n=n. U_t$ Contoh 7 Hitunglah jumlah 2023 suku pertama dari deret aritmatika $1+2+3+ 4+ ...$ Jawab; $1+2+3+4+...$ $U_1=a=1$ $b=U_2-U_1=2-1=1$ Cara 1 $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$ $S_{2023}=\frac{2023}{2}(2(1)+(2023-1)1)$ $S_{2023}=\frac{2023}{2}(2+(2022)1)$ $S_{2023}=\frac{2023}{2}(2+2022)$ $S_{2023}=\frac{2023}{2}(2024)$ $S_{2023}=(2023)(1012)$ $ S_{2023}=2047276$ cara 2 $U_n=a+(n-1)b$ $U_{2023}=1+(2022)1=2023$ $S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n)$ $S_{2023}=\frac{2023}{2}(1+2023)$ $S_{2023}=\frac{2023}{2}(2024)$ $S_{2023}=2023(1012)$ $S_{2023}=2047276$ Latihan 7 1.  Hitunglah jumlah 45 suku pertama deret aritmatika $1+3+5+7+...$ 2.  Hitunglah jumlah 17 suku pertama deret aritmatika $ 8+ 13+18+23+...$ Contoh 8  Diketahui suku ketujuh dan kesebelas deret aritmatika berturut-turut yaitu 34 dan 46, hitunglah jumlah 17 suk

Barisan Aritmatika awalnya berbentuk , $a, U_2, U_3, U_4, ..., U_n$ atau $a, a+b, a+2b, a+3b, ..,a+(n-1)b$, pada barisan ini akan disisipkan sebanyak k suku sehingga membentuk barisan artimatika baru. Rumus suku ke-n barisan aritmatika yang baru yaitu; $U'_n=U_{(n-1)k+n}$ beda barisan aritmatika baru yaitu $b'=\frac{b}{k+1}$ Contoh 6 Diberikan barisan aritmatika 5, 15, 25, ..... setiap diantara dua suku yang berurutan disisipkan 4 angka/bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika baru, tentukanlah; a.  beda pada barisan aritmatika baru b.  suku ke-15 barisam aritmatika baru. Jawab; suku pertama (awal) bernilai 5 barisan aritmatika lama memiliki beda $b=U_2-U_1=15-5=10$ banyak sisipannya 4, berarti $k=4$ a.  beda barisan aritmatika baru $b'=\frac{b}{k+1}$                                                  $b'=\frac{10}{4+1}$                                                  $b'=\frac{10}{5}$                                                  $b'=2$ b.  suku ke-15 b

 Suku tengah berlaku pada barisan aritmatika yang banyakn sukunya berbentuk bilangan ganjil. Suku tengah disimbolkan dengan $U_t$ dengan rumus; $U_t=\frac{U_1+U_n}{2}$ atau $U_t=\frac{a+U_n}{2}$ dimana;             $U_1$ adalah suku pertama atau awal dari barisan aritmatika            $U_n$ adalah suku ke-n yang merupakan suku terakhir dari barisan aritmatika tersebut. Contoh 5 Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut; 2, 6, 10, 14, ...., 178. tentukan a.  suku tengahnya b.  suku keberapakah suku tengahnya? Jawab; a.  Suku tengah $U_t$      $U_1=2$ dan $U_n=178$      $U_t=\frac{U_1+U_n}{2}=\frac{2+178}{2}$      $U_t=\frac{180}{2}$     $U_t=90$ b.  Suku keberapakah suku tengahnya?      $U_n=a+(n-1)b$ maka $U_t=a+(t-1)b$, dimana beda: $b=U_2-U_1=6-2=4$                                           $2+(t-1)4=90$                                           $2+4t-4=90$                                           $4t-2=90$                                           $4t=90+2$                      

 Dari barisan bilangan 500, 465, 430, 395, ..., suku negatif yang pertama adalah .. A.  $-5$ B.  $-10$ C.  $-15$ D.  $-20$ E.  $-25$ Jawab; Beda $465-500=-35$ Suku pertama = awal = 500 Cara 1; $a+(n-1)b<0$ $500+(n-1)(-35)<0$ $500-35n+35<0$ $535-35n<0$ $35n>535$ $n>\frac{535}{35}$ $n>15,28$ misalkan $n=16$ maka $U_16=a+15b=500+15(-35)=500-525=-25$ Cara 2; 500, 465, 430, 295, 255, 220, 185, 150, 115, 80, 45, 10, -25   Sumber Soal  MATEMATIKA UNTUK SMA/MA KELAS XI SEMESTER 2 KARANGAN SUKINO HALAMAN 23 NO 13.

Suku ke-6 sebuah barisan aritmatika adalah 24000 dan suku kesepuluh adakah 18000, agar sukuke-n sama dengan 0, maka nilai n adalah... A.  20 B.  21 C.  22 D.  23 E.  24 Jawab;  D Suku ke-6 adalah 24000 berarti $U_6=24000$                                                     $a+5b=24000$ ........(1) Suku ke-10 adalah 18000 berarti $U_{10}=18000$                                                     $a+9b=18000$ ........(2) Eliminasi a dari (1) dan (2)  $a+5b=24000$ $a+9b=18000$     -      $-4b=6000$      $b=\frac{6000}{-4}=-1500$ Substitusi $b=-15000$ pada persamaan (1),    $a+5b=24000$ $a+5(-1500)=24000$ $a-7500=24000$ $a=24000+7500=31500$ $U_n=0$ $a+(n-1)b=0$ $31500+(n-1)(-1500)=0$ $31500-1500n +1500=0$ $33000-1500n=0$ $1500n=33000$ $n=\frac{33000}{1500}=22$   Sumber Soal  MATEMATIKA UNTUK SMA/MA KELAS XI SEMESTER 2 KARANGAN SUKINO HALAMAN 23 NO 14.

Diketahui tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan itu 36 dan hasil kalinya 1.536, maka bilangan terbesar dari barisan tersebut adalah ... A.  12 B.  16 C.  18 D.  21 E.  24 Jawab; B Tiga bilagan membentuk barisan aritmatika; $a-b, a, a+b$ jumlah ketiga bilangan itu 36 berarti $(a-b)+a+(a+b)=36$                                                       $3a=36$ maka $a=\frac{36}{3}=12$  Hasil kalinya 1.536 berarti $(a-b)(a)(a+b)=1536$                                           $(12-b)(12)(12+b)=1536$                                           $(12-b)(12+b)=\frac{1536}{12}$                                           $12^2-b^2=128$                                          $144-b^2=128$                                          $-b^2=128-144$                                          $-b^2=-16$                                          $b^2=16$ maka $b=\pm 4$ bilangan terbesar berbentuk $a+b=12+4=16$, Sumber Soal  MATEMATIKA UNTUK SMA/MA KELAS XI SEMESTER 2 KARANGAN SU

 Diketahui tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 75, sedangkan selisih kuadrat bilangan ketiga dab kuadrat bilangan pertama adalah 700. Nilai ketiga bilangan tersebut adalah ... A.  20, 25, 30 B.  10, 25, 40 C.  5, 25, 40 D.  0, 25, 50 E.  18, 25, 32 Jawab; E Misalkan bentuk barisan aritmatika tersebut adalah $a-b, a, a+b$ Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 75 maka $(a-b)+a+(a+b)=75$                                                                          $3a=75$                                                                          $a=\frac{75}{3}=25$ jadi barisan aritmatika berubah menjadi $25-b, 25, 25+b$  Selisih kuadrat bilangan ketiga dan kuadrat bilangan pertama adalah 700 berarti $(25+b)^2-(25-b)^2=700$ $(25)^2+2(25)(b)+b^2-[(25)^2-2(25)(b)+b^2]=700$ $625+50b+b^2-[625-50b+b^2]=700$ $625-625+50b+50b+b^2-b^2=700$ $100b=700$ $b=\frac{700}{100}=7$  urutan barisan tersebut $25-b, 25, 25+b$                                      $25-7, 25,

 Suku keempat dan suku ketujuh sebuah barisan aritmatika berturut-turut adakah 17 dan 29. Nilai suku ke-25 barisan tersebut sama dengan .... A.  97 B.  101 C.  105 D.  109 E.  113 Jawab; B Suku keempat 17 maka $U_4=17$                                       $a+3b=17$ .............(1) Suku ketujuh 29 maka $U_7=29$                                    $a+6b=29$ ...............(2) Eliminasi a dari (1) dan (2) $a+3b=17$ $a+6b=29$    $-$      $-3b=-12$      $b=\frac{-12}{-3}=4$  Subtitusi $b=4$ kepersamaan (1) $a+3b=17$ menjadi $a+3(4)=17$                                 $a+12=17$                                 $a=17-12=5$ Suku ke-25 : $U_{25}=a+24b$                      $U_{25}=5+24(4)=5+96=101$ jadi $U_{25}=101$ Sumber Soal  MATEMATIKA UNTUK SMA/MA KELAS XI SEMESTER 2 KARANGAN SUKINO HALAMAN 24 NO 17.

 Diketahui 4 suku pertama dari barisan aritmatika adalah a, b, c, 2b. Nilai dari $\frac{b}{a}$ adalah .... A.  $\frac{1}{4}$ B.  $\frac{1}{3}$ C.  $\farc{1}{2}$ D.  2 E.  3 Jawab; D beda $=U_2-U_1=U_3-U_2=U_4-U_3$ beda $=b-a=c-b=2b-c$ $c-b=2b-c$ maka $2c=3b$ atau $c=\frac{3}{2}b$ $b-a=c-b$ maka $b-a=\frac{3}{2}b-b$                            $-a=\frac{3}{2}b-b-b$                            $-a=-\frac{1}{2} b$ ,maka $a=\frac{1}{2}b$ sehingga; $\frac{b}{a}=\frac{b}{\frac{1}{2}b}=b\times \frac{2}{1b}=2$ Sumber Soal  MATEMATIKA UNTUK SMA/MA KELAS XI SEMESTER 2 KARANGAN SUKINO HALAMAN 24 NO 18.

Panjang rusuk-rusuk dari suatu segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika , jika keliling  segitiga tersebut 72 cm, maka luas segitiga tersebut adalah .... A.  256 cm B.  240 cm C.  224 cm D.  216 cm E.  196 cm Jawab; D rusuk-rusuk segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika, jika r merupakan rusuk urutan kedua, maka barisan aritmatikanya berbentuk;  $ r-b, r, r+b$ keliling segitiga 72 berarti $(r-b)+(r)+(r+b)=72$                                       $3r=72$                                       $r=\frac{72}{3}=24$ rusuk terbesar/terpanjang merupakan sisi miring (sisi yang berada di depan segitiga siku-siku). sisi miring tersbut adalah $r+b$ berdasarkan teorema Phytagoras; $(r+b)^2=(r-b)^2+r^2$ $(24+b)^2=(24-b)^2+24^2$ $(24)^2+2(24)(b)+b^2=(24)^2-2(24)(b)+b^2+24^2$ $576+48b+b^2=576-48b+b^2+576$ $48b+48b+b^2-b^2=576$ $96b=576$ $b=\frac{576}{96}=6$ sehingga urutan rusuknya $24-6;  24; 24+6$ atau $18; 24; 30$ Luas segitiga $=\frac{\text{panjang}\times\text{lebar}}{2}=\frac{18\ti

 Sudut-sudut sebuah segi lima membentuk barisan aritmatika. Jika sudut terkecil segi lima tersebut sebesar $66^o$, maka sudut terbesar segilima itu sama dengan ... A.  $160^o$ B.  $150^o$ C.  $148^o$ D.  $145^o$ E.  $108^o$ Jawab; B Sudut terkecil $66^o$, berarti urutan sudut dari yang terkecil hingga terbesar yaitu; $66, 66+b, 66+2b, 66+3b, 66+4b$. Jumlah sudut pada segi-n  yaitu $(n-2)\times 180$ Jumlah sudut pada segi lima yaitu $(5-2)\times 180=540$ sehingga; $66 +(66+b)+(66+2b)+(66+3b)+(66+4b)=540$                $66+66+66+66+66+b+2b+3b+4b=540$                $330+10b=540$                $10b=540-330$                $10b=210$                $b=\frac{210}{10}=21$ jadi sudut terbesar yaitu $66+4b=66+4(21)=66+84=150$ Sumber Soal  MATEMATIKA UNTUK SMA/MA KELAS XI SEMESTER 2 KARANGAN SUKINO HALAMAN 24 NO 20.

Contoh 4 Umur Erna, Erni, dan Ernu membentuk barisan aritmatika. Jumlah ketiga umur mereka adalah 45 tahun dan hasil kalinya 3315. tentukan umur ketiga orang tersebut. Jawab; Jumlah umur Erna, Erni dan Ernu = 45 Misalkan  umur Erna = a - b                umur Erni = a                umur Ernu = a + b Umur Erna + Umur Erni + Umur Ernu = (a - b) + (a)  + (a + b) = 45                                                                                            3a =  45                                                                                            $a=\frac{45}{3}=15$ hasil kali umur Erna, Erni, ernu adalah 3315; $(a-b)(a)(a+b)=3315$  $(15-b)(15)(15+b)=3315$ $(15-b)(15+b)=\frac{3315}{15}$ $(15-b)(15+b)=221$ $225-b^2=221$ $225-221=b^2$ $b^2=4$ $b=\sqrt{4}$ $b=\pm 2$ Jika $b =2$ maka     Umur Erna $= a -b=15-2=13$ tahun.    Umur Erni $= a=15$ tahun    Umur Ernu $=a+b=15+2=17$ Jika $b=-2$ maka     Umur Erna $=a-b=15-(-2)=17$ tahun    Umur Erni $=a=15$ tahun   Umur Ernu $=a+b=15+(-2)=1

 Barisan aritmatika atau barisan hitung adalah barisan yang suku-sukunya memiliki beda yang sama dengan cara menambahkan dengan suatu konstanta yang disebut dengan beda (b).  seperti  2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...... -    beda (b) : selisih suatu suku dengan suku sebelumnya     $b=U_2-U_1=U_3-U_2=U_4-U_3=U_n-U_{n-1}$    $(b)=5-2=3$ -   Suku pertama = $U_1 = \text{awal} =2=a$ -   Suku ke-2 = $U_2=5=2+3=a+b$ -   Suku ke-3 = $U_3=8=2+3+3=a+2b$ -  Suku ke-4=$U_4=11=2+3+3+3=a+3b$ -  Suku ke-5=$U_5=14=2+3+3+3+3=a+4b$     :     : -  Suku ke-n = $U_n=a+(n-1)b$    Jadi Rumus untuk menentukan suku ke-n pada barisan aritmatika yaitu;    $U_n=a+(n-1)b$    cara lain menemukan beda pada barisan aritmatika yaitu;    $b=\frac{U_m-U_n}{m-n}$ Contoh 1 Tentukan beda dan suku keseratus dari barisan aritmatika; 2, 5, 8, 11, ... Jawab $U_1=a=2$ $U_2=5$ $U_3=8$ Beda : $b=U_2-U_1=5-2=3$, Jadi bedanya 3 Suku keseratus berarti $n=100$, sehingga; $U_n=a+(n-1)b$ $U_{100}=2+(100-1)3$ $U_{100}=2+(99)3$ $U_{100}=

Pilihlahlah biangan yang tepat yang merupakan kelanjutan dari pola deretan bilangan pada setiap soal berikut. 1)  12, 6, 0, 5, 6, 4, 3, __      a.  2      b.  3      c.  4      d.  6      e.  7 2)  5, 10, 7, 12, 9, __      a.  13      b.  14      c.  15      d.  16      e.  17 3)  8, 64, 16, 32, 32, 16, 64, 8, __      a.  4      b. 16      c.  32      d.  64      e.   128 4)  6, 4, 10, 5, 13, 7, 17, 8, 20, __, __      a.  10 dan 11      b.  10 dan 24      c.  11 dan 23      d.  11 dan 26      e.  21 dan 30 5)  8, 4, 0, 1, 5, 1, 2, __      a.  9      b.  10      c.  11      d.  12      e.  13 6)  125, 205, 305, 425, 565, 725, __      a.  865      b.  885      c.  905      d.  925      e.  945 7)  6, 11, 18, 29, 42, 59, 78, __      a.  101      b.  100      c.   99      d.  97      e.  96 8)  7, 2, 3, 9, 3, 4, 11, 4, 5, 13, 5, 6, __, __      a.  7 dan 15      b.  7 dan 9